2017_浙江卷
15．（6 分）已知向量 $\vec { \mathsf { a } } ,$ 、 满足 $| \vec { \mathsf { a } } | = 1 , \quad | \vec { \mathsf { b } } | = 2$ ，则 $| \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } | + | \overrightarrow { a } - \overrightarrow { b } |$ 的最小值是
4 ，最大值是 $2 { \sqrt { 5 } } .$
4、 $2 \sqrt { 5 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】通过记 $\scriptstyle \angle A O B = \alpha \ ( 0 \leqslant \alpha \leqslant \pi )$ ），利用余弦定理可可知 $| \vec { \mathsf { a } } + \vec { \mathsf { b } } | = \sqrt { 5 - 4 \mathsf { c o s } \mathbb { a } }$ $| \vec { \mathrm { ~ \tt ~ { ~ a ~ } ~ } } - \vec { \mathrm { ~ \tt ~ { ~ b ~ } ~ } } | = \sqrt { 5 + 4 \cos \mathrm { ~ \tt ~ { ~ G ~ } ~ } }$ ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论
【解答】解：记 $\angle A O B = a$ ，则 $0 { \leqslant } \alpha { \leqslant } \pi$ ，如图，
由余弦定理可得：
$$ \vert \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } \vert = \sqrt { 5 - 4 \cos \alpha } \cdot $$
| ﹣ |= ，
令 $\scriptstyle x = \sqrt { 5 - 4 \cos \alpha } , \forall = \sqrt { 5 + 4 \cos \alpha }$
则 $\mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } { = } 1 0 ~ \left( \mathsf { x } , ~ \mathsf { y } { \geq } 1 \right)$ ），其图象为一段圆弧MN，如图，
令 ${ \boldsymbol { z } } { = } \mathsf { x } ^ { + } \mathsf { y }$ ，则 $y = - x + z$
则直线 $y = - x + 2$ 过 M、N 时 z 最小为 $z _ { \mathrm { m i n } } = 1 + 3 = 3 + 1 = 4$
当直线 $y = - x + 2$ 与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知 $z _ { \mathrm { m a x } }$ 即为原点到切线的距离的 $\sqrt { 2 }$ 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 $\sqrt { 2 }$ 倍，
所以 $z _ { \mathrm { m a x } } = \sqrt { 2 } \times \sqrt { 1 0 } = 2 \sqrt { 5 }$
综上所述， $| \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } | + | \overrightarrow { a } - \overrightarrow { b } |$ 的最小值是4，最大值是 $2 \sqrt { 5 }$
故答案为：4、 $2 \sqrt { 5 }$
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题