空间向量与立体几何　·　历年高考数学真题与解析

15．已知平面 $\alpha , \beta , \gamma$ 两两垂直，直线 $a , b , c$ 满足：$a \subseteq \alpha, b \subseteq \beta, c \subseteq \gamma$ ，则直线 $a , b , c$ 不可能是（ ）

15．（本小题满分 14 分）
在平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=A B, A B_{1} \perp B_{1} C_{1}$ ．

求证：（1）$A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；
（2）平面 $A B B_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B C$ ．

（第 15 题）

2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 $\alpha, \beta$ 交于直线 1 ，若直线 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 满足 $\mathrm{m} \| \alpha$ ， $\mathrm{n} \perp \beta$ ，则

2．（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 $\alpha, \beta$ 交于直线 1 ，若直线 $m, n$ 满足 $m / / \alpha$ ， $n \perp \beta$ ，则

14．如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， $\mathrm{E}, \mathrm{~F}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

18．（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAD}=\frac{\pi}{2}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ ， $\mathrm{AD}=2, \mathrm{E}$ 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点。将 $\triangle \mathrm{ABE}$ 沿 BE 折起到 $\Delta \mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ 的位置，如图2．

图1

图2

（I）证明： $\mathrm{CD} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{OC}$ ；
（II）若平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE} \perp$ 平面 BCDE ，求平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ 夹角的余弦值．

6．（5分）（2015 •广东）若直线 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 是异面直线， $1_{1}$ 在平面 $\alpha$ 内， $1_{2}$ 在平面 $\beta$ 内， 1 是平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的交线，则下列命题正确的是

18．（本小题满分 12 分）
在如图所示的多面体中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $A C C_{1} A_{1}$ 都为矩形。
（I）若 $A C \perp B C$ ，证明：直线 $B C \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（II）设 $D, E$ 分别是线段 $B C, C C_{1}$ 的中点，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $M$ ，使直线 $D E / /$ 平面 $A_{1} M C$ ？请证明你的结论。

4．（5分）已知正四面体 $A B C D$ 中，$E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为

4．已知 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示两条不同直线，$\alpha$ 表示平面，下列说法正确的是

20．（2009 浙江理 20）如图，平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, ~ \triangle A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，

$E, F, O$ 分别为 $P A, P B, A C$ 的中点，$A C=16, P A=P C=10$ ．
①设 $G$ 是 $O C$ 的中点，证明：$F G / /$ 平面 $B O E$ ；
（II）证明：在 $\triangle A B O$ 内存在一点 $M$ ，使 $F M \perp$ 平面 $B O E$ ，并求点 $M$ 到 $O A, O B$ 的距离．

9．如图，在四面体 $A B C D$ 中，截面 $P Q M N$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为

12、已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta, \alpha \cap \beta=$
$\boldsymbol{I}$ ，点 $\mathrm{A} \in \alpha, \mathrm{A} \notin \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{AB} \| \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{AC} \perp \boldsymbol{I}$ ，直线 $\mathrm{m}\|\alpha, \mathrm{m}\| \beta$ ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是

13．已知向量 $\boldsymbol{a}=(0,-1,1), \boldsymbol{b}=(4,1,0),|\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{29}$ 且 $\lambda>0$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设有直线 $m , n$ 和平面 $\alpha , \beta$ ，下列四个命题中，正确的是