2016 浙江卷 · 文 数学

（5 分）（2016•浙江）已知全集 $\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，集合 $\mathrm{P}=\{1,3,5\}, \mathrm{Q}=\{1,2$ ， $4\}$ ，则 $\left(\mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{P}\right) \cup \mathrm{Q}=$（ ）

（5 分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面 $\alpha, \beta$ 交于直线 1 ，若直线 $m, n$ 满足 $m / / \alpha$ ， $n \perp \beta$ ，则

（5 分）（2016•浙江）若平面区域 $\left\{\begin{array}{l}x+y-3 \geqslant 0 \\ 2 x-y-3 \leqslant 0 \\ x-2 y+3 \geqslant 0\end{array}\right.$ ，夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）

（5 分）（2016•浙江）已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}>0$ 且 $\mathrm{a} \neq 1, \mathrm{~b} \neq 1$ ，若 $\log _{\mathrm{a}} \mathrm{b}>1$ ，则（）

（5 分）（2016•浙江）已知函数 $f(x)=x^{2}+b x$ ，则＂$b<0$＂是＂$f(f(x))$ 的最小值与 $f$ （x）的最小值相等＂的

（5 分）（2016 •浙江）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足： $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant|\mathrm{x}|$ 且 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant 2^{\mathrm{x}}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ．

（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{A_{n}\right\} ,\left\{B_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|$ ， $A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点 $P$ 与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则

（6 分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 $\_\_\_\_$ 80 $\mathrm{cm}^{2}$ ，体积是 $\_\_\_\_$ 40 $\mathrm{cm}^{3}$ ．

正视图

侧视图

俯视图

（6 分）（2016 •浙江）已知 $\mathrm{a} \in \mathrm{R}$ ，方程 $\mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{a}+2) \mathrm{y}^{2}+4 \mathrm{x}+8 \mathrm{y}+5 \mathrm{a}=0$ 表示圆，则圆心坐标是 $\_\_\_\_$ （－2，－4） ，半径是 $\_\_\_\_$ 5。

（6 分）（2016 •浙江）已知 $2 \cos ^{2} \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}=\mathrm{Asin}(\omega \mathrm{x}+\phi)+\mathrm{b}(\mathrm{A}>0)$ ，则 $\mathrm{A}=-\sqrt{2} \_, \mathrm{b}=$ 1 。

（6 分）（2016 •浙江）设函数 $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+1$ ，已知 $a \neq 0$ ，且 $f(x)-f(a)=(x-b) (x-a)^{2}, x \in R$ ，则实数 $a=-2, b=$

（4分）（2016•浙江）设双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，若点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 为锐角三角形，则 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$ 的取值范围是＿$(2 \sqrt{7}, 8)$ 。

（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{5}$ ， $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$ ，沿直线 AC 将 $\triangle \mathrm{ACD}$ 翻折成 $\triangle \mathrm{ACD}^{\prime}$ ，直线 $\mathrm{AC}^{\prime}$ 与 $\mathrm{BD}^{\prime}$ 所成角的余弦的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．

（4分）（2016•浙江）已知平面向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=1$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ 为平面单位向量，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|+|\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}}|$ 的最大值是＿$\sqrt{7} \_$。

（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， C 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（1）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ ；
（2）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{2}{3}$ ，求 $\cos \mathrm{C}$ 的值。

（15分）（2016•浙江）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{2}=4, a_{n+1}=2 S_{n}+1, n \in N^{*}$ 。
（I）求通项公式 $a_{n}$ ；
（II）求数列 $\left\{\left|a_{n}-n-2\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和。

（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ 中，平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ， $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2, \mathrm{AC}=3$ ．
（I）求证： $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
（II）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值。

（15 分）（2016•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}, \mathrm{x} \in[0,1]$ ，证明：
（ I ）$f(x) \geqslant 1-x+x^{2}$
（II）$\frac{3}{4}<f(x) \leqslant \frac{3}{2}$ ．