2024 天津卷 数学

集合 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ $B = \{ 2 , 3 , 4 , 5 \}$ ，则 $A \cap B =$ （ ）

设 $a,b\in\mathbf{R}$，则“$a^3=b^3$”是“$3^a=3^b$”的（ ）

下列图中，相关性系数最大的是（ ）

下列函数是偶函数的是（ ）

若 $a = 4 . 2 \AA ^ { - 0 . 3 }$ $b = 4 . 2 ^ { 0 . 3 }$ $c = \log _ { 4 . 2 } 0 . 2$ ，则a b c， ， 的大小关系为（ ）

</sub> _若m n, _{为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（} _）

已知函数 $f \left( x \right) = \sin 3 \Bigg ( \omega x + \frac { \pi } { 3 } \Bigg ) \left( \omega > 0 \right)$ 的最小正周期为π．则函数在 $\left[ - { \frac { \pi } { 1 2 } } , { \frac { \pi } { 6 } } \right]$ 的最小值是（ ）

双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 } . P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F _ { 2 }$ 的斜率为2 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）

一 个 五 面 体 ABC DEF- ． 已 知 $A D / / B E / / C F$ ， 且 两 两 之 间 距 离 为 1 ． 并 已 知$A D = 1$ BE CF= =2 3， ， ．则该五面体的体积为（ ）

在 $\left( { \frac { 3 } { x ^ { 3 } } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right) ^ { 6 }$ 的展开式中，常数项为

$( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5$ 的圆心与抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点F 重合，A为两曲线的交点，则原点到直线$A F$ 的距离为

在边长为 1 的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， $C E = \frac { 1 } { 2 } D E , B E = \lambda B A + \mu B C$ ，则$\lambda + \mu =$ \_；若 F 为线段 BE 上的动点，G 为 $A F$ 中点，则 ${ \overrightarrow { A F } } { \cdot } { \overrightarrow { D G } }$ 的最小值为

若函数 $f { \big ( } x { \big ) } = 2 { \sqrt { x ^ { 2 } - a x } } - \left| a x - 2 \right| + 1$ 有唯一零点，则a的取值范围为

在 ${ \triangle A B C }$ 中， $\scriptstyle \cos B = { \frac { 9 } { 1 6 } } , b = 5 , { \frac { a } { c } } = { \frac { 2 } { 3 } }$

（1）求a；

（2）求sinA ；

(3) 求cos(B-2A).

已 知 四 棱 柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中 ， 底 面 ABCD为 梯 形 ， $A B / / C D$ $A _ { 1 } A$ ^ 平 面 ABCD，$A D \perp A B$ ，其中 $\ A B = A A _ { 1 } = 2 , A D = D C = 1$ ． N 是 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点， M是 $D D _ { 1 }$ 的中点

（1）求证 $D _ { 1 } N / /$ 平面 $C B _ { 1 } M$

（2）求平面 $C B _ { 1 } M$ 与平面 $B B _ { 1 } C C _ { 1 }$ 的夹角余弦值；

（3）求点B到平面 $C B _ { 1 } M$ 的距离

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公比大于0的等比数列．其前n项和为 $S _ { n }$ ．若 $a _ { 1 } = 1 , S _ { 2 } = a _ { 3 } - 1$

（1）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 前n项和 $S _ { n }$ ；

②设 $b _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { k , n = a _ { k } } \\ { b _ { n - 1 } + 2 k , a _ { k } < n < a _ { k + 1 } } \end{array} \right.$ $b _ { 1 } = 1$ ，其中k是大于1的正整数

（ⅰ）当 $n = a _ { k + 1 }$ 时，求证： $b _ { n - 1 } \geq a _ { k } \cdot b _ { n }$

（ⅱ）求 $\sum _ { i = 1 } ^ { S _ { n } } b _ { i }$