2024 北京卷 数学

已知集合 $M = \{x \mid -4 < x \le 1\}$，$N = \{x \mid -1 < x < 3\}$，则 $M \cup N = $（　　）

已知 $\frac { z } { \mathrm { i } } = \mathrm { i } - 1$ ，则z =（ ）

求圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x + 6 y = 0$ 的圆心到 $x - y + 2 = 0$ 的距离（ ）

$\left( x - { \sqrt { x } } \right) ^ { 4 }$ 的二项展开式中 $x ^ { 3 }$ 的系数为（ ）

已知向量 ${ \vec { a } } \ , \ { \vec { b } }$ ，则 ${ \mathrm { \Large ~ } } ^ { \ast \cdot } \left( { \vec { a } } + { \vec { b } } \right) \cdot \left( { \vec { a } } - { \vec { b } } \right) = 0 \cdot { \mathrm { \Large ~ } } _ { \mathrm { \Large ~ } } ^ { \mathrm { \large ~ } } { \mathrm { \Large ~ } } ^ { \mathrm { \large ~ } } { \vec { a } } = { \vec { b } }$ 或 $\stackrel { } { a } = - \stackrel { } { b } \stackrel { \cdot } { }$ 的（ ）条件

已知 $f \bigl ( x \bigr ) = \sin \omega x \bigl ( \omega > 0 \bigr )$ $f \left( x _ { 1 } \right) = - 1$ $f { \bigl ( } x _ { 2 } { \bigr ) } = 1$ $\vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \vert _ { \mathrm { m i n } } = \frac { \pi } { 2 }$ _，则w=_（ _）

记水的质量为 $d = \frac { S - 1 } { \ln n }$ ，并且 d越大，水质量越好．若S不变，且 $d _ { \mathrm { 1 } } = 2 . 1$ $d _ { 2 } = 2 . 2$ ，则 $n _ { 1 }$ 与 $n _ { 2 }$ 的关 系为（ ）

已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $2 { \sqrt { 2 } } \ , \ 2 { \sqrt { 2 } }$ ，则该四棱锥的高为（ ）

已知 $\left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ 是函数 $y = 2 ^ { x }$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）

若集合 $\left\{ ( x , y ) | y = x + t ( x ^ { 2 } - x ) , 0 \leq t \leq 1 , 1 \leq x \leq 2 \right\}$ 表示的图形中，两点间最大距离为 d、面积为 S，则（ ）

已知抛物线 $y ^ { 2 } = 1 6 x$ ，则焦点坐标为

已知 $\alpha \in \left[ \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 3 } \right]$ ，且α与β的终边关于原点对称，则 $\cos \beta$ 的最大值为【答案】 $- { \frac { 1 } { 2 } }$ ## -0.5

已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } - y ^ { 2 } = 1$ ，则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为

已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列．第一个圆柱的直径为 65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为

已知 $M = \left\{ k \mid a _ { k } = b _ { k } \right\} , a _ { n } , b _ { n }$ 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是

$\textcircled { 1 } a _ { n } , \ b$ 均为等差数列，则M中最多一个元素；

② $a _ { n } ~ , ~ b _ { n }$ 均为等比数列，则M中最多三个元素；

③ $a _ { n }$ 为等差数列， $b _ { n }$ 为等比数列，则M中最多三个元素；

④ $a _ { n }$ 单调递增， $b _ { n }$ 单调递减，则M中最多一个元素.

在 $\triangle A B C$ 中， $a = 7$ ，A为钝角， $\sin 2 B = \frac { \sqrt { 3 } } { 7 } b \cos B$

（1）求 $\angle A$ ；

（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\triangle A B C$ 的面积

①b = 7 ；② $\cos B = { \frac { 1 3 } { 1 4 } }$ ；③ $c \sin A = { \frac { 5 } { 2 } } { \sqrt { 3 } }$

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计 pts

已知四棱锥 P-ABCD， $A D / / B C$ $A B = B C = 1$ ， AD = 3， $D E = P E = 2$ ，E 是 AD上一点，$P E \perp A D$

（1）若F是PE中点，证明：BF// 平面PCD

（2）若AB 平面PED，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值

已知椭圆方程 $C \colon \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \bigl ( a > b > 0 \bigr )$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\left( 0 , t \right) \left( t > \sqrt { 2 } \right)$ 的直线l与椭圆交于A，B，C(0,1)，连接AC交椭圆于D.

（1）求椭圆方程和离心率；

（2）若直线BD 的斜率为0，求t

设集合 $M = \left\{ \left( i , j , s , t \right) \middle | i \in \left\{ 1 , 2 \right\} , j \in \left\{ 3 , 4 \right\} , s \in \left\{ 5 , 6 \right\} , t \in \left\{ 7 , 8 \right\} , 2 \middle | \left( i + j + s + t \right) \right\}$ ．对于给定有穷数列$A : \{ a _ { n } \} \left( 1 \leq n \leq 8 \right)$ ，及序列 $\Omega : \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { s }$ $\omega _ { k } = \left( i _ { k } , j _ { k } , s _ { k } , t _ { k } \right) \in M$ ，定义变换T：将数列A的第$i _ { 1 } , j _ { 1 } , s _ { 1 } , t _ { 1 }$ 项加1，得到数列 $T _ { 1 } ( A )$ ；将数列 $T _ { 1 } \left( A \right)$ 的第 $i _ { 2 } , j _ { 2 } , s _ { 2 } , t _ { 2 }$ 列加1，得到数列 $T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right) \ldots$ ；重复上述操作，得到数列 $T _ { s } . . . T _ { 2 } T _ { 1 } \left( A \right)$ ，记为Ω(A).

(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)，写出 $\Omega ( A )$

（2）是否存在序列Ω，使得Ω(A)为 $a _ { 1 } + 2 , a _ { 2 } + 6 , a _ { 3 } + 4 , a _ { 4 } + 2 , a _ { 5 } + 8 , a _ { 6 } + 2 , a _ { 7 } + 4 , a _ { 8 } + 4$ ，若存在，写出一个符合条件的W；若不存在，请说明理由；

（3）若数列A的各项均为正整数，且 $a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + a _ { 7 }$ 为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω(A)为常数

列”的充要条件为“ $a _ { 1 } + a _ { 2 } = a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 5 } + a _ { 6 } = a _ { 7 } + a _ { 8 } ^ { \circ , } .$