讨论遗漏参数边界高考易错题

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

15、已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}, n= \frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值；
（III）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）．

21．（12分）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f$（ $x$ ）的解析式及单调区间；
（2）若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$ ，求（a＋1）b的最大值．