(1)
对于曲线 $M_1$，其所在圆的圆心为 $(1, 0)$，半径为 $1$。
该圆过极点，且圆心在极轴上，其极坐标方程为 $\rho = 2\cos\theta$。
由题意，弧 $\widehat{AB}$ 的端点为 $A(2, 0)$ 和 $B(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$，对应的极角范围是 $[0, \frac{\pi}{4}]$。
故 $M_1$ 的极坐标方程为 $\rho = 2\cos\theta \left(\theta \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]\right)$。
对于曲线 $M_2$，其所在圆的圆心为 $(1, \frac{\pi}{2})$，即直角坐标系中的 $(0, 1)$，半径为 $1$。
该圆过极点，且圆心在 $y$ 轴正半轴上，其极坐标方程为 $\rho = 2\sin\theta$。
由题意，弧 $\widehat{BC}$ 的端点为 $B(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$ 和 $C(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$，对应的极角范围是 $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$。
故 $M_2$ 的极坐标方程为 $\rho = 2\sin\theta \left(\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]\right)$。
对于曲线 $M_3$，其所在圆的圆心为 $(1, \pi)$，即直角坐标系中的 $(-1, 0)$，半径为 $1$。
该圆过极点，且圆心在极轴负半轴上，其极坐标方程为 $\rho = -2\cos\theta$（或 $\rho = 2\cos(\theta-\pi)$）。
由题意，弧 $\widehat{CD}$ 的端点为 $C(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$ 和 $D(2, \pi)$，对应的极角范围是 $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$。
故 $M_3$ 的极坐标方程为 $\rho = -2\cos\theta \left(\theta \in \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]\right)$。
综上所述：
$M_1: \rho = 2\cos\theta, \theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$；
$M_2: \rho = 2\sin\theta, \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$；
$M_3: \rho = -2\cos\theta, \theta \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$。
(2)
设点 $P$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$，由已知 $|OP| = \rho = \sqrt{3}$。
我们需要分别在 $M_1, M_2, M_3$ 的方程中求解 $\theta$，并验证解是否在对应的定义域内。
① 当点 $P$ 在 $M_1$ 上时：
$\rho = 2\cos\theta = \sqrt{3} \implies \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为 $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$，在此范围内 $\cos\theta$ 单调递减，且 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\pi}{6} \in [0, \frac{\pi}{4}]$。
所以 $\theta = \frac{\pi}{6}$。
此时点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6})$。
② 当点 $P$ 在 $M_2$ 上时：
$\rho = 2\sin\theta = \sqrt{3} \implies \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为 $\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$，在此范围内 $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解为 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 或 $\theta = \frac{2\pi}{3}$。
这两个角均在 $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ 范围内。
所以 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 或 $\theta = \frac{2\pi}{3}$。
此时点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{3}, \frac{\pi}{3})$ 或 $(\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3})$。
③ 当点 $P$ 在 $M_3$ 上时：
$\rho = -2\cos\theta = \sqrt{3} \implies \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为 $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$，在此范围内 $\cos\theta$ 单调递增，且 $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5\pi}{6} \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$。
所以 $\theta = \frac{5\pi}{6}$。
此时点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{3}, \frac{5\pi}{6})$。
综上，点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}), (\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}), (\sqrt{3}, \frac{2\pi}{3}), (\sqrt{3}, \frac{5\pi}{6})$。
