（10分）在 A B C 中， cos B = - 5 1…——2008 高考数学第 17 题答案解析

（1）在 $\triangle ABC$ 中，由 $\cos B = -\frac{5}{13}$ 且 $B \in (0, \pi)$，可知 $B$ 为钝角，故
$$ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \frac{12}{13} $$
由 $\cos C = \frac{4}{5}$ 且 $C \in (0, \pi)$，可知 $C$ 为锐角，故
$$ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} $$
因为 $A + B + C = \pi$，所以 $A = \pi - (B+C)$，则
$$ \sin A = \sin[\pi - (B+C)] = \sin(B+C) $$
利用两角和的正弦公式展开：
$$ \sin A = \sin B \cos C + \cos B \sin C = \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} + \left(-\frac{5}{13}\right) \times \frac{3}{5} $$
$$ \sin A = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65} $$

（2）由三角形面积公式 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A$，代入已知数据：
$$ \frac{33}{2} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \frac{33}{65} $$
解得：
$$ AB \cdot AC = 65 \quad \cdots ① $$
根据正弦定理 $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$，可得：
$$ AC = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{AB \cdot \frac{12}{13}}{\frac{3}{5}} = AB \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{13} AB \quad \cdots ② $$
将 ② 式代入 ① 式：
$$ AB \cdot \left( \frac{20}{13} AB \right) = 65 $$
$$ AB^2 = \frac{65 \times 13}{20} = \frac{13 \times 13}{4} $$
因为边长为正，所以 $AB = \frac{13}{2}$。
再次利用正弦定理求 $BC$：
$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \implies BC = \frac{AB \sin A}{\sin C} $$
$$ BC = \frac{\frac{13}{2} \times \frac{33}{65}}{\frac{3}{5}} = \frac{13}{2} \times \frac{33}{65} \times \frac{5}{3} $$
化简计算：
$$ BC = \frac{13}{2} \times \frac{11}{13} = \frac{11}{2} $$