（14分）已知椭圆C： x ^ 2 a ^ 2 + y ^…——2012 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）由题意知，椭圆 $C$ 的长轴顶点为 $A(2,0)$，故 $a=2$。
又离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $c = a \cdot e = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
根据椭圆性质 $b^2 = a^2 - c^2$，可得 $b^2 = 4 - 2 = 2$。
因此，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$。

（Ⅱ）设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$。
联立直线 $y = k(x-1)$ 与椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$：
$$ \begin{cases} y = k(x-1) \\ x^2 + 2y^2 = 4 \end{cases} $$
消去 $y$ 得：$x^2 + 2[k(x-1)]^2 = 4$，
整理得：$(1+2k^2)x^2 - 4k^2x + (2k^2-4) = 0$。
由于直线与椭圆交于两点，判别式 $\Delta > 0$：
$\Delta = (-4k^2)^2 - 4(1+2k^2)(2k^2-4) = 16k^4 - 4(2k^2 - 4 + 4k^4 - 8k^2) = 16k^4 - 8k^2 + 16 - 16k^4 + 32k^2 = 24k^2 + 16 > 0$，恒成立。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = \frac{4k^2}{1+2k^2}$，$x_1 x_2 = \frac{2k^2-4}{1+2k^2}$。

弦长 $|MN|$ 为：
$$ \begin{aligned} |MN| &= \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} \\ &= \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{\left(\frac{4k^2}{1+2k^2}\right)^2 - 4\frac{2k^2-4}{1+2k^2}} \\ &= \sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt{16k^4 - 4(2k^2-4)(1+2k^2)}}{1+2k^2} \\ &= \sqrt{1+k^2} \cdot \frac{\sqrt{24k^2+16}}{1+2k^2} \\ &= \frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2} \end{aligned} $$
点 $A(2,0)$ 到直线 $kx - y - k = 0$ 的距离 $d$ 为：
$d = \frac{|2k - 0 - k|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$。

$\triangle AMN$ 的面积 $S$ 为：
$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |MN| \cdot d \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2} \cdot \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}} \\ &= \frac{|k|\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2} \end{aligned} $$
由题设 $S = \frac{\sqrt{10}}{3}$，得：
$\frac{|k|\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2} = \frac{\sqrt{10}}{3}$
两边平方得：
$\frac{k^2(6k^2+4)}{(1+2k^2)^2} = \frac{10}{9}$
$9k^2(6k^2+4) = 10(1+2k^2)^2$
$54k^4 + 36k^2 = 10(1 + 4k^2 + 4k^4)$
$54k^4 + 36k^2 = 10 + 40k^2 + 40k^4$
$14k^4 - 4k^2 - 10 = 0$
$7k^4 - 2k^2 - 5 = 0$
$(7k^2 + 5)(k^2 - 1) = 0$
因为 $k^2 \ge 0$，所以 $k^2 = 1$，解得 $k = \pm 1$。