（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中…——2016 高考数学第 25 题答案解析

（1）抛物线 $C: y^2=2px (p>0)$ 的焦点坐标为 $(\frac{p}{2}, 0)$。
因为直线 $l: x-y-2=0$ 过抛物线的焦点，所以将焦点坐标代入直线方程得：
$\frac{p}{2} - 0 - 2 = 0$，解得 $p=4$。
故抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=8x$。

（2）① 设 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ 是抛物线上关于直线 $l$ 对称的两个不同点。
由 $P, Q$ 在抛物线上，得 $\begin{cases} y_1^2 = 2px_1 \\ y_2^2 = 2px_2 \end{cases}$。
两式相减得 $y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)$，即 $(y_1+y_2)(y_1-y_2) = 2p(x_1-x_2)$。
因为 $P, Q$ 不重合，所以 $x_1 \neq x_2$，则直线 $PQ$ 的斜率 $k_{PQ} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = \frac{2p}{y_1+y_2}$。
又因为 $P, Q$ 关于直线 $l: x-y-2=0$ 对称，所以 $PQ \perp l$。
直线 $l$ 的斜率为 $1$，故 $k_{PQ} = -1$。
所以 $\frac{2p}{y_1+y_2} = -1$，即 $y_1+y_2 = -2p$。
设线段 $PQ$ 的中点为 $M(x_0, y_0)$，则 $y_0 = \frac{y_1+y_2}{2} = -p$。
因为点 $M$ 在对称轴 $l$ 上，满足 $x_0 - y_0 - 2 = 0$，
所以 $x_0 = y_0 + 2 = -p + 2 = 2-p$。
即线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p, -p)$。

② 由知，线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p, -p)$，且 $y_1+y_2 = -2p$。
又 $x_1+x_2 = 2x_0 = 2(2-p) = 4-2p$。
由抛物线方程可得 $x_1 = \frac{y_1^2}{2p}, x_2 = \frac{y_2^2}{2p}$，
所以 $x_1+x_2 = \frac{y_1^2+y_2^2}{2p} = \frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2}{2p}$。
代入数值：$4-2p = \frac{(-2p)^2 - 2y_1y_2}{2p} = \frac{4p^2 - 2y_1y_2}{2p} = 2p - \frac{y_1y_2}{p}$。
整理得 $\frac{y_1y_2}{p} = 2p - (4-2p) = 4p - 4$，即 $y_1y_2 = 4p^2 - 4p$。
因此，$y_1, y_2$ 是关于 $t$ 的一元二次方程 $t^2 - (y_1+y_2)t + y_1y_2 = 0$ 的两个不相等的实数根。
该方程为 $t^2 + 2pt + (4p^2 - 4p) = 0$。
要使 $P, Q$ 为相异两点，需判别式 $\Delta > 0$，即：
$\Delta = (2p)^2 - 4(4p^2 - 4p) > 0$
$4p^2 - 16p^2 + 16p > 0$
$-12p^2 + 16p > 0$
$3p^2 - 4p < 0$
$p(3p - 4) < 0$
解得 $0 < p < \frac{4}{3}$。
又已知 $p > 0$，故 $p$ 的取值范围是 $(0, \frac{4}{3})$。