（10分）在 A B C，内角A、B、C的对边长分别为a、…——2009 高考数学第 17 题答案解析

由已知条件 $\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C$，利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 和余弦定理 $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 进行边角互化。

将余弦定理表达式代入已知等式：
$$ \sin A \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = 3 \cos A \sin C $$
两边同乘 $2b$，并注意到 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$，即 $\sin A = \frac{a}{c}\sin C$，代入左边：
$$ \frac{a}{c}\sin C \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} = 3 \cos A \sin C $$
消去非零因子 $\sin C$ 和 $a$（注意左边分母是 $2ab$，分子有 $\sin A$，这里直接代换更清晰）：
原式等价于：
$$ a \cos C = 3 c \cos A $$
代入余弦定理公式：
$$ a \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = 3 c \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
化简得：
$$ \frac{a^2+b^2-c^2}{2b} = \frac{3(b^2+c^2-a^2)}{2b} $$
因为 $b \neq 0$，去分母得：
$$ a^2+b^2-c^2 = 3(b^2+c^2-a^2) $$
$$ a^2+b^2-c^2 = 3b^2 + 3c^2 - 3a^2 $$
移项整理：
$$ 4a^2 - 4c^2 = 2b^2 $$
$$ 2(a^2 - c^2) = b^2 $$

又已知 $a^2 - c^2 = 2b$，将其代入上式：
$$ 2(2b) = b^2 $$
$$ 4b = b^2 $$
解得 $b=4$ 或 $b=0$。
因为 $b$ 为三角形边长，故 $b>0$，舍去 $b=0$。

所以 $b=4$。