A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2020 高考数学第 17 题答案解析

（1）由诱导公式 $\cos(\frac{\pi}{2}+A) = -\sin A$，原方程化为：
$$ \sin^2 A + \cos A = \frac{5}{4} $$
利用同角三角函数关系 $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$，代入得：
$$ 1 - \cos^2 A + \cos A = \frac{5}{4} $$
整理得关于 $\cos A$ 的一元二次方程：
$$ \cos^2 A - \cos A + \frac{1}{4} = 0 $$
即 $(\cos A - \frac{1}{2})^2 = 0$，解得 $\cos A = \frac{1}{2}$。
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \frac{\pi}{3}$。

（2）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，将 $A = \frac{\pi}{3}$ 代入得：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - bc \quad \cdots ① $$
已知条件为 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$，两边平方得：
$$ (b-c)^2 = \frac{1}{3} a^2 \implies a^2 = 3(b^2 - 2bc + c^2) \quad \cdots ② $$
联立 ① 和 ②，消去 $a^2$：
$$ b^2 + c^2 - bc = 3(b^2 - 2bc + c^2) $$
$$ b^2 + c^2 - bc = 3b^2 - 6bc + 3c^2 $$
移项整理得：
$$ 2b^2 - 5bc + 2c^2 = 0 $$
因式分解：
$$ (2b - c)(b - 2c) = 0 $$
解得 $b = \frac{1}{2}c$ 或 $b = 2c$。
由已知 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ 且 $a > 0$，可知 $b - c > 0$，即 $b > c$。
因此舍去 $b = \frac{1}{2}c$，取 $b = 2c$。
将 $b = 2c$ 代入 ① 式求 $a$：
$$ a^2 = (2c)^2 + c^2 - 2c \cdot c = 4c^2 + c^2 - 2c^2 = 3c^2 $$
即 $a = \sqrt{3}c$。
此时三边关系满足：
$$ a^2 + c^2 = 3c^2 + c^2 = 4c^2 = b^2 $$
根据勾股定理逆定理，$\triangle ABC$ 是以 $B$ 为直角的直角三角形。