（I）选择式子（2）进行计算：
$$
\begin{aligned}
& \sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} \\
= & 1-\frac{1}{2} \sin \left(2 \times 15^{\circ}\right) \\
= & 1-\frac{1}{2} \sin 30^{\circ} \\
= & 1-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\
= & \frac{3}{4}
\end{aligned}
$$
故该常数为 $\frac{3}{4}$。
（II）推广的三角恒等式为：
$$ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2}\left(30^{\circ}-\alpha\right)-\sin \alpha \cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)=\frac{3}{4} $$
证明如下：
左边 $=\sin ^{2} \alpha+\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right)^{2}-\sin \alpha\left(\cos 30^{\circ} \cos \alpha+\sin 30^{\circ} \sin \alpha\right)$
$=\sin ^{2} \alpha+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha+\frac{1}{2} \sin \alpha\right)^{2}-\sin \alpha\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha+\frac{1}{2} \sin \alpha\right)$
$=\sin ^{2} \alpha+\left(\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4} \sin ^{2} \alpha\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{2} \sin ^{2} \alpha\right)$
$=\sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4} \sin ^{2} \alpha-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \cos \alpha-\frac{1}{2} \sin ^{2} \alpha$
合并同类项，消去含 $\sin \alpha \cos \alpha$ 的项：
$=\left(1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha$
$=\frac{3}{4} \sin ^{2} \alpha+\frac{3}{4} \cos ^{2} \alpha$
$=\frac{3}{4}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)$
$=\frac{3}{4}$
左边 $=$ 右边，故等式成立。