2021_新课标 I 卷 (2021)
19．记 $\triangle A B C$ 是内角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b^{2}=a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin \angle A B C=a \sin C$.
（1）证明：$B D=b$ ；
（2）若 $A D=2 D C$ ，求 $\cos \angle A B C$ ．
(1) 证明见解析; (2) $\cos \angle A B C=\frac{7}{12}$ ．
（1）在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{b}{\sin \angle ABC} = \frac{c}{\sin C}$，可得 $\frac{\sin C}{\sin \angle ABC} = \frac{c}{b}$．
已知 $BD \sin \angle ABC = a \sin C$，变形得 $BD = \frac{a \sin C}{\sin \angle ABC}$．
将正弦定理得到的比值代入，得 $BD = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{ac}{b}$．
又因为已知条件 $b^2 = ac$，即 $ac = b^2$，
所以 $BD = \frac{b^2}{b} = b$，得证．
（2）由（1）知 $BD=b$．因为 $AD=2DC$，且 $AC=b$，所以 $AD = \frac{2}{3}b$，$DC = \frac{1}{3}b$．
在 $\triangle ABD$ 中，由余弦定理：
$\cos \angle ADB = \frac{BD^2 + AD^2 - AB^2}{2 \cdot BD \cdot AD} = \frac{b^2 + (\frac{2}{3}b)^2 - c^2}{2 \cdot b \cdot \frac{2}{3}b} = \frac{\frac{13}{9}b^2 - c^2}{\frac{4}{3}b^2}$．
在 $\triangle CBD$ 中，由余弦定理：
$\cos \angle CDB = \frac{BD^2 + DC^2 - BC^2}{2 \cdot BD \cdot DC} = \frac{b^2 + (\frac{1}{3}b)^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot \frac{1}{3}b} = \frac{\frac{10}{9}b^2 - a^2}{\frac{2}{3}b^2}$．
因为点 $D$ 在边 $AC$ 上，所以 $\angle ADB + \angle CDB = \pi$，故 $\cos \angle ADB = -\cos \angle CDB$．
代入上述表达式：
$\frac{\frac{13}{9}b^2 - c^2}{\frac{4}{3}b^2} = - \frac{\frac{10}{9}b^2 - a^2}{\frac{2}{3}b^2}$．
两边同乘 $\frac{4}{3}b^2$（注意右边分母为 $\frac{2}{3}b^2$，需调整系数），化简得：
$\frac{13}{9}b^2 - c^2 = -2 \left( \frac{10}{9}b^2 - a^2 \right)$，
$\frac{13}{9}b^2 - c^2 = -\frac{20}{9}b^2 + 2a^2$，
整理得 $2a^2 + c^2 = \frac{33}{9}b^2 = \frac{11}{3}b^2$．
将 $c = \frac{b^2}{a}$ 代入上式：
$2a^2 + \frac{b^4}{a^2} = \frac{11}{3}b^2$．
两边同乘 $3a^2$ 并整理：
$6a^4 - 11a^2b^2 + 3b^4 = 0$．
因式分解得 $(2a^2 - 3b^2)(3a^2 - b^2) = 0$．
解得 $a^2 = \frac{3}{2}b^2$ 或 $a^2 = \frac{1}{3}b^2$．
接下来求 $\cos \angle ABC$．由余弦定理：
$\cos \angle ABC = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$．
因为 $ac=b^2$，分母为 $2b^2$；分子中 $c^2 = \frac{b^4}{a^2}$，
所以 $\cos \angle ABC = \frac{a^2 + \frac{b^4}{a^2} - b^2}{2b^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} - 1 \right)$．
情形一：若 $a^2 = \frac{1}{3}b^2$，即 $\frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{3}$，则 $\frac{b^2}{a^2} = 3$．
此时 $\cos \angle ABC = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + 3 - 1 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{6} > 1$，不合题意，舍去．
情形二：若 $a^2 = \frac{3}{2}b^2$，即 $\frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$，则 $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$．
此时 $\cos \angle ABC = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} - 1 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9+4-6}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{12}$．
综上所述，$\cos \angle ABC = \frac{7}{12}$．
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
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