正弦定理　·　历年高考数学真题与解析

12.在 $\triangle A B C ^ { \prime }$ 中， $\mathrm { B C } { = } 4 , \mathrm { A C } { = } 3$ $\cos A = - { \frac { 1 } { 4 } }$ ,则sin B =

16. 在 $\triangle A B C$ 中， $\displaystyle { \cos { A } = - \frac { 1 } { 3 } } , a { \sin { C } = 4 \sqrt { 2 } }$

(1) 求c;

(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 $\triangle A B C$ 存在，求BC的高.

① $a = 6 ; \textcircled { 2 } b \sin C = \frac { 1 0 \sqrt { 2 } } { 3 }$ ;③ $\triangle A B C$ 面积为 $1 0 \sqrt { 2 }$

11．在 $\triangle A B C$ 中内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B=\frac{\pi}{3}, b^{2}=\frac{9}{4} a c$ ，则 $\sin A+\sin C=()$

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=2$ ．
（1）求 $A$ ．
（2）若 $a=2, \sqrt{2} b \sin C=c \sin 2 B$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

15．记 $\triangle A B C$ 内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin C=\sqrt{2} \cos B, a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2} a b$
（1）求 $B$ ；
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$ ，求 $c$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中，$a=7, A$ 为钝角， $\sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．
（1）求 $\angle A$ ；
（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\triangle A B C$ 的面积．
①$b=7$ ；
② $\cos B=\frac{13}{14}$ ；
③$c \sin A=\frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分。

17．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{\cos A}=2$ ．
（1）求 $b c$ ；
（2）若 $\frac{a \cos B-b \cos A}{a \cos B+b \cos A}-\frac{b}{c}=1$ ，求 $\triangle A B C$ 面积．

17．已知在 $\triangle A B C$ 中，$A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
②设 $A B=5$ ，求 $A B$ 边上的高．

18．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B=\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A \sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$ 。

18．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $4 a=\sqrt{5} c, \cos C=\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $\sin A$ 的值；
（2）若 $b=11$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

16．在 $\triangle A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$\sin A: \sin B: \sin C=2: 1: \sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}$.
（I）求 $a$ 的值；
（II）求 $\cos C$ 的值；
（III）求 $\sin \left(2 C-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

19．记 $\triangle A B C$ 是内角 $\mathrm{A}, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b^{2}=a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin \angle A B C=a \sin C$.
（1）证明：$B D=b$ ；
（2）若 $A D=2 D C$ ，求 $\cos \angle A B C$ ．

10．已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_{1}$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆，若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4 \pi$ ，$A B=B C=A C=O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

12．已知 $A, B, C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_{1}$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆，若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4 \pi$ ，$A B=B C=A C=O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为

17．在（1）$a c=\sqrt{3}$ ，②$c \sin A=3$ ，③$c=\sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 $\triangle A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A=\sqrt{3} \sin B, C=\frac{\pi}{6}$ ， ＿？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．在锐角 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b \sin A=\sqrt{3} a$ ．
（I）求角 $B$ ；
（II）求 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围．

11．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin A-b \sin B=4 c \sin C, \cos A=-\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{b}{c}=$

14．在 $\mathrm{V} A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $\angle B D C=45^{\circ}$ ，则
$B D=$ $\_\_\_\_$ ； $\cos \angle A B D=$ $\_\_\_\_$ ．

15．V $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A+a \cos B=0$ ，则 $B=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ －

13．（6 分）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．若 $a=\sqrt{7}, b=2$ ， $\mathrm{A}=60^{\circ}$ ，则 $\sin \mathrm{B}=-\frac{\sqrt{21}}{7}-\mathrm{c}=3$ ．

16．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $b \sin C+c \sin B=4 a \sin B \sin C, b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

17．（12分）在平面四边形 $A B C D$ 中，$\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$ ．
（1）求 $\cos \angle A D B$ ；

（2）若 $\mathrm{DC}=2 \sqrt{2}$ ，求 BC ．

11．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin B+\sin A(\sin C -\cos \mathrm{C})=0, \mathrm{a}=2, \mathrm{c}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{C}=$

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, c=\frac{3}{7} a$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 的值；
（2）若 $a=7$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

15．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60，b＝$\sqrt{6}, ~ c =3$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $75^{\circ}$。

16．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b \cos B=a \cos C+\cos A$ ，则 $B=-\frac{\pi}{3}$－

9．（5分）在 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形 ，且满足 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则下列等式成立的是（）

10．已知 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $3,5,7$ ，则该三角形的外接圆半径等于 $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=\frac{2 \pi}{3}, a=\sqrt{3} c$ ，则 $\frac{b}{c}=1$ 。

13．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos A=\frac{4}{5}, \cos C=\frac{5}{13}$ ， $\mathrm{a}=1$ ，则 $\mathrm{b}=-\frac{21}{13}$－

15．（14分）（2016•江苏）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AC}=6, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}, \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$ ．
（1）求 AB 的长；
（2）求 $\cos$（ $\mathrm{A}-\frac{\pi}{6}$ ）的值。

15．（5分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos \mathrm{A}=\frac{4}{5}, \cos \mathrm{C}=\frac{5}{13}$ ，$a=1$ ，则 $b=-\frac{21}{13}$－．

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$
（II）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，求角 A 的大小．

16．（14分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， C 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ．
（1）证明： $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ ；
（2）若 $\cos \mathrm{B}=\frac{2}{3}$ ，求 $\cos \mathrm{C}$ 的值。

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ．
（I）证明： $\sin A \sin B=\sin C$ ；
（II）若 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{6}{5} b c$ ，求 $\tan B$ ．

17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 \cos C(a \cos B+b$

$$ \cos A)=c $$

（I）求C；
（II）若 $\mathrm{c}=\sqrt{7}, \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的周长．

9．已知 $\triangle A B C$ 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 $\_\_\_\_$。

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=\sqrt{6}, \angle A=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\angle B=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{4}$ ．

13．在 $\triangle A B C$ 中，$B=120^{\circ}, A B=\sqrt{2}, A$ 的角平分线 $A D=\sqrt{3}$，则 $A C=$ $\_\_\_\_$．

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶 600 m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D=$
$\_\_\_\_$ m．

14．若 $\triangle A B C$ 中，$A C=\sqrt{3}, A=45^{0}, C=75^{0}$ ，则 $B C=$

15．（14分）（2015•江苏）在$\triangle ABC$中，已知$AB=2$，$AC=3$，$A=60^\circ$．
（1）求$BC$的长；
（2）求$\sin 2C$的值．

17．（本小题满分 12 分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$ ．
（I）证明： $\sin B=\cos A$ ；
（II）若 $\sin C-\sin A \cos B=\frac{3}{4}$ ，且 $B$ 为钝角，求 $A, B, C$ ．

17．（12分）已知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $\sin ^{2} B=2 \sin A \sin C$ ．
（I）若 $a=b$ ，求 $\cos B$ ；
（II）设 $B=90^{\circ}$ ，且 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

17．（本小题满分 12 分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$， C 所对的边分别为 $a, b, c$。向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos \mathrm{A}, \sin \mathrm{B})$ 平行。
（I）求 A；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积．

17．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$，且 $B$ 为针角．
（1）证明：$B-A=\frac{\pi}{2}$；
（2）求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围．

10．已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 满足 $\sin 2 A+\sin (A-B+C)=\sin (C-A-B)+\frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，记 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

12．（ 5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2, \cos \mathrm{C}=\frac{1}{4}$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ 2 ； $\sin \mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{15}}{8}$ $\_\_\_\_$ ．

12．在 $\triangle A B C$ 中，$A=60^{\circ}, A C=4, B C=2 \sqrt{3}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\_\_\_\_$ ．

16．（5分）如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 $M$ 点的仰角 $\angle M A N=60^{\circ}$ ，C点的仰角 $\angle C A B=45^{\circ}$ 以及 $\angle M A C=75^{\circ}$ ；从C点测得 $\angle M C A=60^{\circ}$ ，已知山高 $B C=100 \mathrm{~m}$ ，则山高 $M N=$ $\_\_\_\_$ 150 m．

18．（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $3 a \cos C=2 \cos A$ ， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 B ．

18．如图 5，在平面四边形 $A B C D$ 中，$A D=1, C D=2, A C=\sqrt{7}$ ．

（1）求 $\cos \angle C A D$ 的值；
②．若 $\cos \angle B A D=-\frac{\sqrt{7}}{14}, \sin \angle C B A=\frac{\sqrt{21}}{6}$ ，求 $B C$ 的长．

19．（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形 $A B C D$ 中，
$D A \perp A B, D E=1, E C=\sqrt{7}, E A=2, \angle A D C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B E C=\frac{\pi}{3}$
（1）求 $\sin \angle C E D$ 的值；
（2）求 $B E$ 的长

图4

5．在 $\triangle A B C$ 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 $a, b, c$，若 $3 a=2 b$，则 $\frac{2 \sin ^{2} B-\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}$ 的值为

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=2 \sqrt{6}, \angle B=2 \angle A$ ．
（I）求 $\cos \mathrm{A}$ 的值；
（II）求 c 的值．

17．（12分）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点 ，$\angle B P C=90^{\circ}$ ．
（1）若 $\mathrm{PB}=\frac{1}{2}$ ，求 PA ；
（2）若 $\angle A P B=150^{\circ}$ ，求 $\tan \angle P B A$ ．

3．在锐角中 $\triangle A B C$，角 $A, B$ 所对的边长分别为 $a, b$。若 $2 a \sin B=\sqrt{3} b$，则角 $A$ 等于

4．（5分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b=2, B=\frac{\pi}{6}, C= \frac{\pi}{4}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为

5．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=5, \sin A=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin B=()$

5．在锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$ 所对的边长分别为 a， b．若 $2 \mathrm{asin} \mathrm{B}=\sqrt{3} \mathrm{~b}$，则角 A 等于

7．设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，若 $b \cos C+c \cos B=a \sin A$，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的形状为

（6）在 $\triangle A B C$，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c . a \sin B \cos C+c \sin B \cos A=\frac{1}{2} b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$

（6）在 $\triangle A B C$，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c . a \sin B \cos C+c \sin B \cos A=\frac{1}{2} b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$

9．设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，若 $b \cos C+c \cos B=a \sin A$，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的形状为

11．（5 分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{~A}=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\angle \mathrm{C}$ 的大小为 $-\frac{\pi}{2}$－

15．（本小题满分 14 分）

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}$ ．
（1）求证： $\tan B=3 \tan A$ ；
（2）若 $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 A 的值．

17．（10分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $\cos (A-C)+c o s B=1, a=2 c$ ，求 $C$ ．

18．（本题满分 14 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\cos A=\frac{2}{3}, \quad \sin B=\sqrt{5} \cos C$ ．
（I）求 $\tan C$ 的值；
（II）若 $a=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

8．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若三边的长为连续的三个正整数，且 $A>B>C, \quad 3 b=20 a \cos A$ ，则 $\sin A: \sin B: \sin C$ 为（ ）

17．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且满足 $\mathrm{c} \sin \mathrm{A}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$ ．
（I）求角 C 的大小；
（II）求 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \left(\mathrm{B}+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 A 、 B 的大小．

4．（5分）（2011－辽宁）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋b $\cos ^{2} \mathrm{~A}=\sqrt{2} \mathrm{a}$ ，则 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=(\quad)$

5．（5分）（2011•浙江）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角A，B，C，所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ．若 $\mathrm{a} \cos \mathrm{A}=\mathrm{b} \sin \mathrm{B}$ ，则 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}+\cos ^{2} \mathrm{~B}=$（ ）

9．在 $\triangle A B C$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \angle B=\frac{\pi}{4}, \sin \mathrm{~A}=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ．

9．（5分）（2011•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \quad \angle \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}, \tan \mathrm{~A}=2$ ，则 $\sin \mathrm{A}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ； $\mathrm{a}= 2 \sqrt{10}$ ．

10．（5 分）（2010•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{b}=1, \mathrm{c}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{C}=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

（14）如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P ，若 $\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PD}}=\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AD}}$ 的值为 $\_\_\_\_$。

17．（10分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为边 BC 上的一点， $\mathrm{BD}=33, \sin \mathrm{~B}=\frac{5}{13}, \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{3}{5}$ ，求AD。

17．（10分）$\triangle A B C$ 中，$D$ 为边 $B C$ 上的一点，$B D=33, \sin B=\frac{5}{13}, \cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ ，求 AD．

18．（12分）已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ ，$B$ 及其对边 $a$ ，$b$ 满足 $a+b=a \cot A+b \cot B$ ，求内角C．

（19）（本小题满分12分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形， $\mathrm{FA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BC} \| \mathrm{AD}, \mathrm{CD}=1$ ， $\mathrm{AD}=2 \sqrt{2}, \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CDA}=45^{\circ}$ ．
（I）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值；
（II）证明 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 ABF ；
（III）求二面角B－EF－A的正切值。

（7）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，若 $a^{2}-b^{2}=\sqrt{3} b c$ ， $\sin C=2 \sqrt{3} \sin B$ ，则 $\mathrm{A}=$

（17）（本小题满分 12 分）
如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 都在同一个与水平面垂直的平面内， $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 $75^{0}, 30^{0}$ ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 $60^{\circ}, A C=0.1 \mathrm{~km}$ 。试探究图中 $B, D$ 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B ， D 的距离（计算结果精确到 $0.01 \mathrm{~km}, \sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{6} \approx$ 2．449）

19．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{6},(1+\sqrt{3}) c=2 b$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）若 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}=1+\sqrt{3}$ ，求 $a, b, c$ ．

13．（4分）（2008•陕西）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，若 $\mathrm{c}=\sqrt{2}, \mathrm{~b}=\sqrt{6}, \mathrm{~B}=120^{\circ}$ ，则 $\mathrm{a}= \sqrt{2}$ ．

（14）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A , B , C$ 所对的边分别为 $a , b , c$ 。若 $(\sqrt{3} b-c) \cos A=a \cos C$ ，则 $\cos A=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（10分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}, \cos \mathrm{~B}=\frac{4}{5}$ ．
（I）求 $\operatorname{sinC}$ 的值；
（II）设 $B C=5$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

17、（本小题满分12分）如图，$\triangle A C D$ 是等边三角形，$\triangle A B C$ 是等腰直角三角形，$\angle A C B=90^{\circ}, ~ B D$交 $A C$ 于 $E, A B=2$ 。（1）求 $\cos \angle C B E$ 的值；（2）求 $A E$ 。

17．（本小题满分12分）
在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$对边的边长分别是$a$，$b$，$c$，已知$c=2$，$C=\frac{\pi}{3}$．
（Ⅰ）若$\triangle ABC$的面积等于$\sqrt{3}$，求$a$，$b$；
（Ⅱ）若$\sin C+\sin(B-A)=2\sin 2A$，求$\triangle ABC$的面积．

（4）已知 $\triangle A B C$ 中，$a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, B=60^{\circ}$ ，那么角 $A$ 等于