实数 a, b 满足 a+b ≥ 3 ． （1）证明： 2…——2024 高考数学第 20 题答案解析

（1）证明：
首先考察 $2a^2+2b^2$ 与 $(a+b)^2$ 的大小关系。
作差得：
$$2a^2+2b^2-(a+b)^2 = 2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2) = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$$
因为对于任意实数 $a,b$，都有 $(a-b)^2 \geq 0$，所以 $2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2$。
已知 $a+b \geq 3$，则 $(a+b)^2 \geq 3(a+b)$。
又因为 $a+b \geq 3 > 1$，所以 $3(a+b) > a+b$。
综合上述不等式链：
$$2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2 \geq 3(a+b) > a+b$$
即 $2a^2+2b^2 > a+b$ 得证。

（2）证明：
利用绝对值三角不等式 $|x|+|y| \geq |x+y|$，令 $x=a-2b^2$，$y=b-2a^2$，则有：
$$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq \left|(a-2 b^{2})+(b-2 a^{2})\right| = \left|-(2a^2+2b^2)+(a+b)\right| = \left|2a^2+2b^2-(a+b)\right|$$
由第（1）问结论可知 $2a^2+2b^2 > a+b$，即 $2a^2+2b^2-(a+b) > 0$，故绝对值符号可直接去掉：
$$\left|2a^2+2b^2-(a+b)\right| = 2a^2+2b^2-(a+b)$$
再次利用第（1）问中的推导 $2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2$，可得：
$$2a^2+2b^2-(a+b) \geq (a+b)^2-(a+b) = (a+b)(a+b-1)$$
设 $t = a+b$，由题设知 $t \geq 3$。
构造函数 $f(t) = t(t-1)$，当 $t \geq 3$ 时，$f(t)$ 单调递增。
所以 $f(t) \geq f(3) = 3 \times (3-1) = 6$。
综上所述：
$$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$$
得证。