不等式的性质　·　历年高考数学真题与解析

9.某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p，q，高二去甲、去乙的人数为r,s。已知 $p + q > r + s$ 且 $p + r > q + s .$ 。下列关于人数的判断中一定正确的是

13．$\left(\frac{1}{3}+x\right)^{10}$ 的展开式中，各项系数的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

20．实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$ ．
（1）证明： $2 a^{2}+2 b^{2}>a+b$ ；
（2）证明：$\left|a-2 b^{2}\right|+\left|b-2 a^{2}\right| \geq 6$ ．

14．已知实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 满足： $\mathrm{a}>\mathrm{b}>\mathrm{c}>\mathrm{d}$ ，则下列选项正确的是（）

12．已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$ ．设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，则

17．设 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 为单位向量，满足 $\left|2 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}\right| \leqslant \sqrt{2}, \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}, \overrightarrow{\mathrm{~b}}=3 \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ ，设 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos ^{2} \theta$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ $\frac{28}{29}$ ．

15．（4分）（2016•浙江）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=2$ ，若对任意单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{e}}$ ，均有 $|\overrightarrow{\mathrm{a}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{e}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \mid \leq \sqrt{6}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 $x=0, y=1, n=1$ ，则输出 $x, y$ 的值满足（）

7．（5 分）（2016 •浙江）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足： $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant|\mathrm{x}|$ 且 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant 2^{\mathrm{x}}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ．

8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 $\mathrm{n}, \mathrm{x}$ 的值分别为 3,2 ，则输出 v 的值为

10．设 $x \in \mathbf{R},[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若存在实数 $t$ ，使得 $[t]=1,\left[t^{2}\right]=2, \cdots,\left[t^{n}\right]=n$同时成立，则正整数 $n$ 的最大值是

17、记方程（1）：$x^{2}+a_{1} x+1=0$ ，方程（2）：$x^{2}+a_{2} x+2=0$ ，方程（3）：$x^{2}+a_{3} x+4=0$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 是正实数．当 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程

（3）无实根的是

15．$x, y \in R$ ，若 $|x|+|y|+|x-1|+|y-1| \leq 2$ ，则 $x+y$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

4．若 $a>b>0, c<d<0$ ，则一定有

5．若 $a>b>0, c<d<0$ ，则一定有

15．设 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的一个＂中位点＂．例如，线段 $A B$ 上的任意点都是端点 $A, B$的中位点．则有下列命题：
①若 $A, B, C$ 三个点共线，$C$ 在线段上，则 $C$ 是 $A, B, C$ 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 $A, B, C, D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

2．（5 分）设 $a, b, c \in R$ ，且 $a>b$ ，则（ ）

1．（5 分）已知集合 $A=\{x \in R \mid 3 x+2>0\}, B=\{x \in R \mid(x+1)(x-3)>0\}$ ，则 $A \cap B=$

7．设 $a>b>1, c<0$ ，给出下列三个结论：
①$\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$ ；②$a^{c}<b f$ ；③ $\log _{b}(a-c)>\log _{a}(b-c)$ ．

其中所有的正确结论的序号是（ ）

7．在$\triangle ABC$中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若$\angle C = 120^\circ$，$c = \sqrt{2}\, a$，则

12）用 $\min \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 三个数中的最小值

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\min \left\{2^{x}, \mathrm{x}+2,10-\mathrm{x}\right\}(\mathrm{x} \geq 0)$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值为