已知函数 f ( x ) = ln x - x + 1 x…——2019 高考数学第 20 题答案解析

（1）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1) \cup (1,+\infty)$。
求导得：
$$ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{1}{x} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2+2x}{x(x-1)^2} = \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} $$
因为 $x \in (0,1) \cup (1,+\infty)$，所以 $x>0$ 且 $(x-1)^2>0$，故 $f'(x)>0$ 恒成立。
因此，$f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上均为单调递增函数。

接下来讨论零点个数：
① 当 $x \in (0,1)$ 时：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$，$\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$。
或者取特值验证：$f(\frac{1}{e}) = -1 - \frac{\frac{1}{e}+1}{\frac{1}{e}-1} = -1 - \frac{1+e}{1-e} = -1 + \frac{e+1}{e-1} = \frac{-(e-1)+e+1}{e-1} = \frac{2}{e-1} > 0$。
又 $\lim_{x \to 0^+} (\ln x - \frac{x+1}{x-1}) = -\infty - (-1) = -\infty$。
由零点存在性定理及单调性可知，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有且仅有一个零点。

② 当 $x \in (1,+\infty)$ 时：
$f(e) = 1 - \frac{e+1}{e-1} = \frac{e-1-e-1}{e-1} = \frac{-2}{e-1} < 0$。
$f(e^2) = 2 - \frac{e^2+1}{e^2-1} = \frac{2(e^2-1)-e^2-1}{e^2-1} = \frac{e^2-3}{e^2-1}$。
因为 $e \approx 2.718$，所以 $e^2 > 3$，故 $f(e^2) > 0$。
由零点存在性定理及单调性可知，$f(x)$ 在 $(e, e^2) \subset (1,+\infty)$ 上有且仅有一个零点。

综上所述，$f(x)$ 有且仅有两个零点。

（2）设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点，则 $f(x_0) = \ln x_0 - \frac{x_0+1}{x_0-1} = 0$，即 $\ln x_0 = \frac{x_0+1}{x_0-1}$。
曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0, \ln x_0)$ 处的切线斜率为 $k = \frac{1}{x_0}$。
切线方程为：
$$ y - \ln x_0 = \frac{1}{x_0}(x - x_0) \implies y = \frac{1}{x_0}x - 1 + \ln x_0 $$
将 $\ln x_0 = \frac{x_0+1}{x_0-1}$ 代入上式，整理截距项：
$$ -1 + \ln x_0 = -1 + \frac{x_0+1}{x_0-1} = \frac{-(x_0-1)+x_0+1}{x_0-1} = \frac{2}{x_0-1} $$
故切线 $l$ 的方程为：
$$ y = \frac{1}{x_0}x + \frac{2}{x_0-1} $$

下面证明该直线也是曲线 $y=e^x$ 的切线。
设曲线 $y=e^x$ 上的切点为 $(x_1, e^{x_1})$，其导数为 $y'=e^x$，故切线斜率为 $e^{x_1}$。
若两切线重合，则斜率相等，即：
$$ e^{x_1} = \frac{1}{x_0} \implies x_1 = \ln(\frac{1}{x_0}) = -\ln x_0 $$
此时，曲线 $y=e^x$ 在 $x_1$ 处的切线方程为：
$$ y - e^{x_1} = e^{x_1}(x - x_1) \implies y = e^{x_1}x + e^{x_1}(1-x_1) $$
我们需要验证该直线的截距 $b' = e^{x_1}(1-x_1)$ 是否等于 $l$ 的截距 $b = \frac{2}{x_0-1}$。
将 $e^{x_1} = \frac{1}{x_0}$ 和 $x_1 = -\ln x_0$ 代入 $b'$：
$$ b' = \frac{1}{x_0} [1 - (-\ln x_0)] = \frac{1}{x_0} (1 + \ln x_0) $$
再次利用 $\ln x_0 = \frac{x_0+1}{x_0-1}$：
$$ b' = \frac{1}{x_0} \left( 1 + \frac{x_0+1}{x_0-1} \right) = \frac{1}{x_0} \left( \frac{x_0-1+x_0+1}{x_0-1} \right) = \frac{1}{x_0} \cdot \frac{2x_0}{x_0-1} = \frac{2}{x_0-1} $$
可见 $b' = b$。
因为斜率相等且截距相等，所以曲线 $y=\ln x$ 在点 $A$ 处的切线与曲线 $y=e^x$ 在某点处的切线重合。
即曲线 $y=\ln x$ 在点 $A(x_0, \ln x_0)$ 处的切线也是曲线 $y=e^x$ 的切线。