设数列 a_ n 满足 a_ 1 =3, a_ n+1 =…——2020 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $a_1=3$ 及递推关系 $a_{n+1}=3a_n-4n$，可得：
$a_2 = 3a_1 - 4\times 1 = 3\times 3 - 4 = 5$，
$a_3 = 3a_2 - 4\times 2 = 3\times 5 - 8 = 7$。
观察前三项 $3, 5, 7$，猜想数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2n+1$。
下面用数学归纳法证明：
① 当 $n=1$ 时，$a_1 = 2\times 1 + 1 = 3$，与已知相符，猜想成立。
② 假设当 $n=k$ ($k\in \mathbb{N}^*$) 时猜想成立，即 $a_k = 2k+1$。
则当 $n=k+1$ 时，
$a_{k+1} = 3a_k - 4k = 3(2k+1) - 4k = 6k + 3 - 4k = 2k + 3 = 2(k+1) + 1$。
即当 $n=k+1$ 时猜想也成立。
综上所述，对任意 $n\in \mathbb{N}^*$，都有 $a_n = 2n+1$。

（2）由（1）知 $a_n = 2n+1$，则数列 $\{2^n a_n\}$ 的通项为 $(2n+1)\cdot 2^n$。
其前 $n$ 项和 $S_n$ 为：
$S_n = 3\cdot 2^1 + 5\cdot 2^2 + 7\cdot 2^3 + \cdots + (2n-1)\cdot 2^{n-1} + (2n+1)\cdot 2^n$ ①
将上式两边同乘以 2，得：
$2S_n = 3\cdot 2^2 + 5\cdot 2^3 + 7\cdot 2^4 + \cdots + (2n-1)\cdot 2^n + (2n+1)\cdot 2^{n+1}$ ②
由 ① - ② 得：
$-S_n = 3\cdot 2^1 + [2\cdot 2^2 + 2\cdot 2^3 + \cdots + 2\cdot 2^n] - (2n+1)\cdot 2^{n+1}$
$-S_n = 6 + 2(2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - (2n+1)\cdot 2^{n+1}$
括号内是首项为 $4$，公比为 $2$，项数为 $n-1$ 的等比数列求和：
$2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n = \frac{4(1-2^{n-1})}{1-2} = 4(2^{n-1}-1) = 2^{n+1}-4$。
代入上式：
$-S_n = 6 + 2(2^{n+1}-4) - (2n+1)\cdot 2^{n+1}$
$-S_n = 6 + 2^{n+2} - 8 - (2n+1)\cdot 2^{n+1}$
$-S_n = -2 + 2\cdot 2^{n+1} - (2n+1)\cdot 2^{n+1}$
$-S_n = -2 + (2 - 2n - 1)\cdot 2^{n+1}$
$-S_n = -2 + (1-2n)\cdot 2^{n+1}$
所以 $S_n = (2n-1)\cdot 2^{n+1} + 2$。