如图，直四棱柱 A B C D- A_ 1 B_ 1 C_…——2019 高考数学第 18 题答案解析

（1）连接 $B_1C$。
因为 $M, E$ 分别为 $BB_1, BC$ 的中点，所以 $ME$ 为 $\triangle B_1BC$ 的中位线，故 $ME // B_1C$ 且 $ME = \frac{1}{2}B_1C$。
在直四棱柱中，$A_1D // B_1C$ 且 $A_1D = B_1C$。
因为 $N$ 为 $A_1D$ 的中点，所以 $ND // B_1C$ 且 $ND = \frac{1}{2}B_1C$。
由此可得 $ME // ND$ 且 $ME = ND$，所以四边形 $MNDE$ 为平行四边形，故 $MN // DE$。
又因为 $MN \not\subset$ 平面 $C_1DE$，$DE \subset$ 平面 $C_1DE$，
所以 $MN //$ 平面 $C_1DE$。

（2）设 $AC \cap BD = O$。因为底面 $ABCD$ 是菱形，所以 $AC \perp BD$。
以 $O$ 为原点，分别以 $OB, OC$ 所在直线为 $x, y$ 轴，过 $O$ 且平行于 $AA_1$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。
由 $AB=2, \angle BAD=60^\circ$ 可知 $\triangle ABD$ 为等边三角形，则 $BD=2, OB=1, OA=\sqrt{3}$。
又 $AA_1=4$，则各点坐标为：
$A(0, -\sqrt{3}, 0), B(1, 0, 0), D(-1, 0, 0), A_1(0, -\sqrt{3}, 4)$。
$M$ 为 $BB_1$ 中点，故 $M(1, 0, 2)$。
$N$ 为 $A_1D$ 中点，故 $N\left(\frac{-1+0}{2}, \frac{0-\sqrt{3}}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\right)$。

求平面 $AMA_1$ 的法向量：
$\overrightarrow{AM} = (1, \sqrt{3}, 2), \overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 4)$。
设平面 $AMA_1$ 的法向量为 $\vec{m} = (x, y, z)$，则：
$\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{AA_1} = 4z = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{AM} = x + \sqrt{3}y + 2z = 0 \end{cases}$
解得 $z=0, x=-\sqrt{3}y$。令 $y=1$，则 $x=-\sqrt{3}$，故 $\vec{m} = (-\sqrt{3}, 1, 0)$。

求平面 $MA_1N$ 的法向量：
$\overrightarrow{A_1M} = (1, \sqrt{3}, -2), \overrightarrow{A_1N} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2\right)$。
设平面 $MA_1N$ 的法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1M} = a + \sqrt{3}b - 2c = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A_1N} = -\frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}b - 2c = 0 \end{cases}$
两式相减得 $\frac{3}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}b = 0 \Rightarrow b = -\sqrt{3}a$。
代入第一式得 $a + \sqrt{3}(-\sqrt{3}a) - 2c = 0 \Rightarrow -2a = 2c \Rightarrow c = -a$。
令 $a=1$，则 $b=-\sqrt{3}, c=-1$，故 $\vec{n} = (1, -\sqrt{3}, -1)$。

计算二面角的正弦值：
设二面角 $A-MA_1-N$ 的大小为 $\theta$，则 $|\cos \theta| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$。
$\vec{m} \cdot \vec{n} = -\sqrt{3} \times 1 + 1 \times (-\sqrt{3}) + 0 = -2\sqrt{3}$。
$|\vec{m}| = \sqrt{3+1} = 2$，$|\vec{n}| = \sqrt{1+3+1} = \sqrt{5}$。
$\therefore |\cos \theta| = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2 \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$。
$\therefore \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{15}{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$。
即二面角 $A-MA_1-N$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。