（12分）已知抛物线C： ( x ^ + 1 ) <sup…——2012 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）由题意，抛物线 $C$ 的方程为 $y=(x+1)^2$，圆 $M$ 的方程为 $(x-1)^2+(y-\frac{1}{2})^2=r^2$。
设公共点 $A$ 的坐标为 $(x_0, (x_0+1)^2)$。
对 $y=(x+1)^2$ 求导得 $y'=2(x+1)$，故在点 $A$ 处切线 $l$ 的斜率 $k_l = 2(x_0+1)$。
圆心 $M(1, \frac{1}{2})$，则直线 $MA$ 的斜率 $k_{MA} = \frac{(x_0+1)^2 - \frac{1}{2}}{x_0 - 1}$。
因为切线 $l$ 与半径 $MA$ 垂直，所以 $k_l \cdot k_{MA} = -1$，即：
$$ 2(x_0+1) \cdot \frac{(x_0+1)^2 - \frac{1}{2}}{x_0 - 1} = -1 $$
整理得：
$$ 2(x_0+1)[(x_0+1)^2 - \frac{1}{2}] = -(x_0-1) $$
$$ 2(x_0+1)(x_0^2+2x_0+\frac{1}{2}) = 1-x_0 $$
$$ 2(x_0^3+2x_0^2+\frac{1}{2}x_0+x_0^2+2x_0+\frac{1}{2}) = 1-x_0 $$
$$ 2x_0^3+6x_0^2+5x_0+1 = 1-x_0 $$
$$ 2x_0^3+6x_0^2+6x_0 = 0 $$
$$ 2x_0(x_0^2+3x_0+3) = 0 $$
因为 $x_0^2+3x_0+3 = (x_0+\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$，所以唯一实根为 $x_0=0$。
此时 $y_0 = (0+1)^2 = 1$，即点 $A(0, 1)$。
圆的半径 $r = |MA| = \sqrt{(1-0)^2 + (\frac{1}{2}-1)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

（Ⅱ）设抛物线 $C$ 上任意一点 $P(t, (t+1)^2)$，该点处的切线方程为：
$$ y - (t+1)^2 = 2(t+1)(x-t) $$
整理得一般式：
$$ 2(t+1)x - y - t^2 + 1 = 0 $$
若该直线与圆 $M$ 相切，则圆心 $M(1, \frac{1}{2})$ 到直线的距离等于半径 $r=\frac{\sqrt{5}}{2}$：
$$ \frac{|2(t+1)\cdot 1 - \frac{1}{2} - t^2 + 1|}{\sqrt{4(t+1)^2 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$
$$ \frac{|-t^2 + 2t + \frac{5}{2}|}{\sqrt{4t^2 + 8t + 5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$
两边平方并整理：
$$ 4(-t^2 + 2t + \frac{5}{2})^2 = 5(4t^2 + 8t + 5) $$
$$ 4(t^4 - 4t^3 - t^2 + 10t + \frac{25}{4}) = 20t^2 + 40t + 25 $$
$$ 4t^4 - 16t^3 - 4t^2 + 40t + 25 = 20t^2 + 40t + 25 $$
$$ 4t^4 - 16t^3 - 24t^2 = 0 $$
$$ t^2(t^2 - 4t - 6) = 0 $$
解得 $t_0=0$，$t_1=2+\sqrt{10}$，$t_2=2-\sqrt{10}$。
其中 $t_0=0$ 对应的是切线 $l$（过点 $A$），题目要求 $m, n$ 异于 $l$，故 $m, n$ 对应的参数分别为 $t_1, t_2$。
设直线 $m$ 对应 $t_1$，直线 $n$ 对应 $t_2$，其方程分别为：
$m: 2(t_1+1)x - y - t_1^2 + 1 = 0$
$n: 2(t_2+1)x - y - t_2^2 + 1 = 0$
联立两直线方程求交点 $D(x_D, y_D)$。
两式相减得：
$$ 2(t_1-t_2)x_D - (t_1^2 - t_2^2) = 0 $$
$$ 2(t_1-t_2)x_D = (t_1-t_2)(t_1+t_2) $$
因为 $t_1 \neq t_2$，所以 $x_D = \frac{t_1+t_2}{2}$。
由韦达定理，$t_1, t_2$ 是方程 $t^2-4t-6=0$ 的两根，故 $t_1+t_2=4$。
所以 $x_D = \frac{4}{2} = 2$。
将 $x_D=2$ 代入直线 $m$ 的方程求 $y_D$：
$$ y_D = 2(t_1+1)(2) - t_1^2 + 1 = 4t_1 + 4 - t_1^2 + 1 = -t_1^2 + 4t_1 + 5 $$
因为 $t_1$ 满足 $t_1^2 - 4t_1 - 6 = 0$，即 $-t_1^2 + 4t_1 = -6$。
所以 $y_D = -6 + 5 = -1$。
即交点 $D$ 的坐标为 $(2, -1)$。

切线 $l$ 对应 $t_0=0$，其方程为 $2(0+1)x - y - 0 + 1 = 0$，即 $2x - y + 1 = 0$。
点 $D(2, -1)$ 到直线 $l: 2x - y + 1 = 0$ 的距离 $d$ 为：
$$ d = \frac{|2\times 2 - (-1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4+1+1|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $$