（14分）已知抛物线 C: x^ 2 =-2 p y 经过…——2019 高考数学第 18 题答案解析

（I）将点 $(2,-1)$ 代入抛物线方程 $x^{2}=-2 p y$，得：
$$ 2^{2} = -2 p \cdot (-1) $$
解得 $4 = 2p$，即 $p=2$。
故抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2}=-4 y$。
由 $2p=4$ 得 $\frac{p}{2}=1$，且开口向下，故准线方程为 $y=1$。

（II）由（I）知抛物线方程为 $x^{2}=-4 y$，焦点坐标为 $F(0,-1)$。
设直线 $l$ 的方程为 $y=k x-1$ ($k \neq 0$)。
联立直线与抛物线方程：
$$ \begin{cases} y=k x-1 \\ x^{2}=-4 y \end{cases} $$
消去 $y$ 得 $x^{2} = -4(k x-1)$，整理得：
$$ x^{2} + 4 k x - 4 = 0 $$
设 $M(x_{1}, y_{1}), N(x_{2}, y_{2})$，则由韦达定理可得：
$$ x_{1}+x_{2}=-4 k, \quad x_{1} x_{2}=-4 $$
因为 $M, N$ 在抛物线上，满足 $y_{1} = -\frac{x_{1}^{2}}{4}, y_{2} = -\frac{x_{2}^{2}}{4}$。
直线 $OM$ 的斜率为 $k_{OM} = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{-\frac{x_{1}^{2}}{4}}{x_{1}} = -\frac{x_{1}}{4}$。
故直线 $OM$ 的方程为 $y = -\frac{x_{1}}{4} x$。
令 $y=-1$，解得 $x_{A} = \frac{4}{x_{1}}$，即点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{4}{x_{1}}, -1\right)$。
同理，直线 $ON$ 的方程为 $y = -\frac{x_{2}}{4} x$。
令 $y=-1$，解得 $x_{B} = \frac{4}{x_{2}}$，即点 $B$ 的坐标为 $\left(\frac{4}{x_{2}}, -1\right)$。

以 $AB$ 为直径的圆，其圆心为线段 $AB$ 的中点，半径为 $\frac{1}{2}|AB|$。
圆心横坐标 $x_{0} = \frac{\frac{4}{x_{1}} + \frac{4}{x_{2}}}{2} = 2 \left( \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1} x_{2}} \right)$。
代入韦达定理的结果：
$$ x_{0} = 2 \cdot \frac{-4 k}{-4} = 2 k $$
圆心纵坐标为 $-1$，故圆心坐标为 $(2k, -1)$。
圆的半径平方 $r^{2} = \left( \frac{|AB|}{2} \right)^{2} = \left( \frac{|\frac{4}{x_{1}} - \frac{4}{x_{2}}|}{2} \right)^{2} = 4 \left( \frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1} x_{2}} \right)^{2}$。
因为 $(x_{1}-x_{2})^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = (-4k)^{2} - 4(-4) = 16k^{2} + 16$，
所以 $r^{2} = 4 \cdot \frac{16(k^{2}+1)}{(-4)^{2}} = 4 \cdot \frac{16(k^{2}+1)}{16} = 4(k^{2}+1)$。
故以 $AB$ 为直径的圆的方程为：
$$ (x-2k)^{2} + (y+1)^{2} = 4(k^{2}+1) $$
展开整理得：
$$ x^{2} - 4kx + 4k^{2} + (y+1)^{2} = 4k^{2} + 4 $$
$$ x^{2} - 4kx + (y+1)^{2} = 4 $$
要证明圆经过 $y$ 轴上的定点，令 $x=0$，方程化为：
$$ (y+1)^{2} = 4 $$
解得 $y+1 = 2$ 或 $y+1 = -2$，即 $y=1$ 或 $y=-3$。
这与参数 $k$ 无关，故以 $AB$ 为直径的圆恒经过 $y$ 轴上的两个定点 $(0,1)$ 和 $(0,-3)$。