在锐角 A B C 中，角 A, B, C 的对边分别为…——2020 高考数学第 18 题答案解析

（I）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$，得 $a = \frac{b \sin A}{\sin B}$。
代入已知条件 $2 b \sin A=\sqrt{3} a$，得：
$$2 b \sin A = \sqrt{3} \cdot \frac{b \sin A}{\sin B}$$
因为 $\triangle ABC$ 为三角形，所以 $b \neq 0, \sin A \neq 0$，两边约去 $b \sin A$，得：
$$2 = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} \implies \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
又因为 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，所以 $B \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$。
在此范围内，满足 $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角为 $B = \frac{\pi}{3}$。

（II）由（I）知 $B = \frac{\pi}{3}$，则 $A + C = \pi - B = \frac{2\pi}{3}$，即 $C = \frac{2\pi}{3} - A$。
设 $y = \cos A + \cos B + \cos C$，代入 $B$ 和 $C$：
$$y = \cos A + \cos \frac{\pi}{3} + \cos \left(\frac{2\pi}{3} - A\right)$$
展开 $\cos \left(\frac{2\pi}{3} - A\right)$：
$$\cos \left(\frac{2\pi}{3} - A\right) = \cos \frac{2\pi}{3} \cos A + \sin \frac{2\pi}{3} \sin A = -\frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A$$
所以：
$$y = \cos A + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A = \frac{1}{2} \cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A + \frac{1}{2}$$
利用辅助角公式合并前两项：
$$y = \sin \left(A + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$$
接下来确定 $A$ 的取值范围。
因为 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，所以三个角均为锐角：
$$\begin{cases} 0 < A < \frac{\pi}{2} \\ 0 < C < \frac{\pi}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < A < \frac{\pi}{2} \\ 0 < \frac{2\pi}{3} - A < \frac{\pi}{2} \end{cases}$$
解第二个不等式：
$$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} < A < \frac{2\pi}{3} \implies \frac{\pi}{6} < A < \frac{2\pi}{3}$$
取交集得 $A$ 的范围：
$$\frac{\pi}{6} < A < \frac{\pi}{2}$$
令 $t = A + \frac{\pi}{6}$，则 $t$ 的范围为：
$$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \implies \frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$$
在区间 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)$ 上，正弦函数 $\sin t$ 的性质如下：
当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin t$ 取得最大值 $1$；
当 $t$ 趋近于 $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$ 时，$\sin t$ 趋近于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为区间是开区间，且 $\frac{\pi}{2}$ 在区间内，所以：
$$\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \left(A + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1$$
从而 $y$ 的取值范围为：
$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} < y \leqslant 1 + \frac{1}{2}$$
即：
$$\frac{\sqrt{3}+1}{2} < \cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}$$
故所求取值范围为 $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}, \frac{3}{2}\right]$。