已知数列 a_ n 的各项均为正数，记 S_ n 为 a_…——2021 高考数学第 18 题答案解析

**情形一：选（1）（2）为条件，证明（3）**

设数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 的公差为 $d$，首项为 $\sqrt{S_1}=\sqrt{a_1}$。
由条件（2）知 $\sqrt{S_n} = \sqrt{a_1} + (n-1)d$。
因为 $a_n > 0$，所以 $S_n$ 单调递增，故 $d \ge 0$。若 $d=0$，则 $S_n$ 为常数，推出 $a_n=0 (n\ge 2)$，与题意矛盾，故 $d>0$。
令 $A=d, B=\sqrt{a_1}-d$，则 $\sqrt{S_n} = An+B$ ($A>0$)。
于是 $S_n = (An+B)^2$。
当 $n=1$ 时，$a_1 = S_1 = (A+B)^2$。
当 $n \ge 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (An+B)^2 - [A(n-1)+B]^2 = A[2An - A + 2B]$。
由条件（1）知 $\{a_n\}$ 是等差数列，则 $a_1$ 也应满足 $n \ge 2$ 时的通项公式规律（即 $2a_2 = a_1 + a_3$ 或直接代入验证首项一致性）。
计算 $a_2 = A(3A+2B)$，$a_3 = A(5A+2B)$。
由等差数列性质 $2a_2 = a_1 + a_3$，得：
$2A(3A+2B) = (A+B)^2 + A(5A+2B)$
$6A^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 + 5A^2 + 2AB$
$6A^2 + 4AB = 6A^2 + 4AB + B^2$
解得 $B^2 = 0$，即 $B=0$。
此时 $a_1 = A^2$，$a_2 = 3A^2$。
显然 $a_2 = 3a_1$，结论（3）得证。

**情形二：选（1）（3）为条件，证明（2）**

设数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
由条件（3）$a_2 = 3a_1$，得 $d = a_2 - a_1 = 2a_1$。
则前 $n$ 项和 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d = na_1 + n(n-1)a_1 = n^2 a_1$。
因为 $a_n > 0$，所以 $a_1 > 0$。
于是 $\sqrt{S_n} = \sqrt{n^2 a_1} = n\sqrt{a_1}$。
考察相邻两项之差：$\sqrt{S_{n+1}} - \sqrt{S_n} = (n+1)\sqrt{a_1} - n\sqrt{a_1} = \sqrt{a_1}$。
该差值为常数，故数列 $\{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，结论（2）得证。

**情形三：选（2）（3）为条件，证明（1）**

由条件（2），设 $\sqrt{S_n} = An+B$ ($A>0$)，则 $S_n = (An+B)^2$。
当 $n=1$ 时，$a_1 = (A+B)^2$。
当 $n \ge 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (An+B)^2 - [A(n-1)+B]^2 = A(2An - A + 2B)$。
由此可得 $a_2 = A(3A+2B)$。
由条件（3）$a_2 = 3a_1$，代入得：
$A(3A+2B) = 3(A+B)^2$
$3A^2 + 2AB = 3(A^2 + 2AB + B^2)$
$3A^2 + 2AB = 3A^2 + 6AB + 3B^2$
$3B^2 + 4AB = 0$
$B(3B+4A) = 0$
解得 $B=0$ 或 $B = -\frac{4}{3}A$。
若 $B = -\frac{4}{3}A$，则 $\sqrt{S_1} = A+B = -\frac{1}{3}A < 0$，这与 $\sqrt{S_1} \ge 0$ 矛盾，舍去。
故必有 $B=0$。
此时 $S_n = (An)^2 = A^2 n^2$。
当 $n=1$ 时，$a_1 = A^2$。
当 $n \ge 2$ 时，$a_n = A(2An-A) = A^2(2n-1)$。
检验 $n=1$ 时，$A^2(2\times 1 - 1) = A^2 = a_1$，符合通项公式。
所以对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$a_n = A^2(2n-1)$。
因为 $a_{n+1} - a_n = A^2[2(n+1)-1] - A^2(2n-1) = 2A^2$（常数），
所以数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，结论（1）得证。