2013_新课标II Paper
11．（14分）如图，匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行。a、b 为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行。一电荷量为q$( \mathsf { q } > 0 )$ 的质点沿轨道内侧运动，经过 a 点和 b 点时对轨道压力的大小分别为 $\mathsf { N } _ { \mathsf { a } }$ 和 $\mathsf { N } _ { \mathsf { b } }$ ．不计重力，求电场强度的大小E、质点经过a 点和 b点时的动能。
See explanation
设质点质量为 $m$，电荷量为 $q$，电场强度为 $E$。质点在光滑绝缘圆轨道内侧运动，不计重力，仅受电场力和轨道支持力作用。电场力大小 $F = qE$，方向水平向右（由 $a$ 指向 $b$）。
1. **受力分析与向心力方程**
在 $a$ 点，质点位于轨道最左端。电场力 $qE$ 指向圆心（向右），轨道对质点的支持力 $N_a$ 也指向圆心（向右，因为质点压轨道，轨道反作用力指向圆心提供部分向心力，且电场力辅助）。根据牛顿第二定律：
$$ N_a + qE = m\frac{v_a^2}{r} $$
由此可得 $a$ 点动能：
$$ E_{ka} = \frac{1}{2}mv_a^2 = \frac{r}{2}(N_a + qE) \quad \text{......①} $$
在 $b$ 点，质点位于轨道最右端。电场力 $qE$ 背离圆心（向右），轨道对质点的支持力 $N_b$ 指向圆心（向左）。根据牛顿第二定律：
$$ N_b - qE = m\frac{v_b^2}{r} $$
由此可得 $b$ 点动能：
$$ E_{kb} = \frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{r}{2}(N_b - qE) \quad \text{......②} $$
2. **动能定理应用**
质点从 $a$ 运动到 $b$ 的过程中，只有电场力做功。位移为直径 $2r$，电场力做正功：
$$ W_{ab} = qE \cdot 2r $$
根据动能定理：
$$ E_{kb} - E_{ka} = 2qEr \quad \text{......③} $$
3. **联立求解**
将 ①、② 式代入 ③ 式：
$$ \frac{r}{2}(N_b - qE) - \frac{r}{2}(N_a + qE) = 2qEr $$
两边消去 $r$ 并整理：
$$ \frac{1}{2}(N_b - N_a - 2qE) = 2qE $$
$$ N_b - N_a - 2qE = 4qE $$
$$ N_b - N_a = 6qE $$
解得电场强度：
$$ E = \frac{N_b - N_a}{6q} $$
将 $E$ 代回 ① 式求 $E_{ka}$：
$$ E_{ka} = \frac{r}{2} \left( N_a + q \cdot \frac{N_b - N_a}{6q} \right) = \frac{r}{2} \left( N_a + \frac{N_b - N_a}{6} \right) $$
$$ E_{ka} = \frac{r}{2} \left( \frac{6N_a + N_b - N_a}{6} \right) = \frac{r}{12}(5N_a + N_b) $$
将 $E$ 代回 ② 式求 $E_{kb}$：
$$ E_{kb} = \frac{r}{2} \left( N_b - q \cdot \frac{N_b - N_a}{6q} \right) = \frac{r}{2} \left( N_b - \frac{N_b - N_a}{6} \right) $$
$$ E_{kb} = \frac{r}{2} \left( \frac{6N_b - N_b + N_a}{6} \right) = \frac{r}{12}(N_a + 5N_b) $$
综上所述，电场强度的大小为 $\frac{N_b - N_a}{6q}$，质点经过 $a$ 点时的动能为 $\frac{r}{12}(5N_a + N_b)$，经过 $b$ 点时的动能为 $\frac{r}{12}(N_a + 5N_b)$。