（18分）一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于…——2013 高考物理第 12 题答案解析

（1）由 $v-t$ 图象可知，在 $0 \sim 0.5\text{s}$ 时间内，木板做匀减速直线运动。
木板的加速度大小为：
$a_1 = \frac{|\Delta v|}{\Delta t} = \frac{5 - 1}{0.5} \text{m/s}^2 = 8 \text{m/s}^2$

在此过程中，物块从静止开始做匀加速直线运动，至 $t=0.5\text{s}$ 时速度达到 $v=1\text{m/s}$。
物块的加速度大小为：
$a_2 = \frac{v}{t} = \frac{1}{0.5} \text{m/s}^2 = 2 \text{m/s}^2$

设物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，质量均为 $m$。
对物块，根据牛顿第二定律有：
$\mu_1 mg = ma_2$
解得：$\mu_1 = \frac{a_2}{g} = \frac{2}{10} = 0.20$

对木板，水平方向受到地面对它的滑动摩擦力（方向向后）和物块对它的滑动摩擦力（方向向后）。地面对木板的支持力为 $2mg$。
根据牛顿第二定律有：
$\mu_1 mg + \mu_2 (2mg) = ma_1$
代入数据：$0.20 \times 10m + \mu_2 \times 20m = 8m$
$2 + 20\mu_2 = 8$
解得：$\mu_2 = 0.30$

（2）$t=0.5\text{s}$ 后，物块与木板速度相同，均为 $v=1\text{m/s}$。
假设两者相对静止一起减速，整体受到的合外力为地面的摩擦力 $\mu_2(2mg)$，整体加速度大小为 $a_{共} = \mu_2 g = 3 \text{m/s}^2$。
此时物块需要的静摩擦力 $f = m a_{共} = 3m$，而物块能提供的最大静摩擦力 $f_m = \mu_1 mg = 2m$。
因为 $f > f_m$，所以假设不成立，物块与木板发生相对滑动。

此后，物块受向后的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度大小仍为：
$a_2' = \mu_1 g = 2 \text{m/s}^2$
物块减速至停止的位移为：
$x_2 = \frac{v^2}{2a_2'} = \frac{1^2}{2 \times 2} \text{m} = 0.25 \text{m}$

木板受地面向后的摩擦力 $\mu_2(2mg)$ 和物块向前的摩擦力 $\mu_1 mg$（因为物块减速慢，相对于木板向前滑，故给木板向前的摩擦力），做匀减速运动。
根据牛顿第二定律，木板的加速度大小 $a_1'$ 满足：
$\mu_2 (2mg) - \mu_1 mg = m a_1'$
$0.30 \times 20m - 0.20 \times 10m = m a_1'$
$6m - 2m = m a_1'$
解得：$a_1' = 4 \text{m/s}^2$
木板减速至停止的位移为：
$x_1' = \frac{v^2}{2a_1'} = \frac{1^2}{2 \times 4} \text{m} = 0.125 \text{m}$

在 $0 \sim 0.5\text{s}$ 内：
木板的位移 $x_{1前} = \frac{5+1}{2} \times 0.5 \text{m} = 1.5 \text{m}$
物块的位移 $x_{2前} = \frac{0+1}{2} \times 0.5 \text{m} = 0.25 \text{m}$

全过程木板的总位移：
$X_1 = x_{1前} + x_1' = 1.5 + 0.125 = 1.625 \text{m}$
全过程物块的总位移：
$X_2 = x_{2前} + x_2 = 0.25 + 0.25 = 0.5 \text{m}$

物块相对于木板的位移大小：
$\Delta x = X_1 - X_2 = 1.625 - 0.5 = 1.125 \text{m}$