［选修4－5：不等式选讲］ 已知 a, b, c 为正数，…——2019 高考数学第 23 题答案解析

① 由 $abc=1$，可得 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{bc+ac+ab}{abc} = ab+bc+ca$。
根据基本不等式，有：
$a^2+b^2 \geq 2ab$
$b^2+c^2 \geq 2bc$
$c^2+a^2 \geq 2ca$
将上述三式相加，得 $2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$，即 $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$。
当且仅当 $a=b=c=1$ 时等号成立。
故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^2+b^2+c^2$ 得证。

② 令 $x=a+b, y=b+c, z=c+a$。由均值不等式（或幂平均不等式）可知：
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \geq \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3$ 此路较繁，改用如下推导：
由基本不等式 $A^3+B^3+C^3 \geq 3ABC$（当 $A,B,C>0$），
$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$。
又因为 $a,b,c > 0$，由基本不等式可得：
$a+b \geq 2\sqrt{ab}$
$b+c \geq 2\sqrt{bc}$
$c+a \geq 2\sqrt{ca}$
三式相乘得：
$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$。
因为 $abc=1$，所以 $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8$。
代回原不等式：
$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \geq 3 \times 8 = 24$。
当且仅当 $a=b=c=1$ 时，上述所有不等式的等号同时成立。
故 $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 \geq 24$ 得证。