2013_新课标II Paper
14．（10分）如图所示，一上端开口、下端封闭的玻璃管竖直放置。玻璃管的下部封有长 $\mathsf { I } _ { 1 } { = } 2 5 . 0 \mathsf { c m }$ 的空气柱，中间有一段长为 $1 _ { 2 } = 2 5 . 0 0 c m$ 的水银柱，上部空气柱的长度 $\mathsf { I } _ { 3 } { = } 4 0 . 0 \mathsf { c m }$ 。现将一活塞（图中未画出）从玻璃管开口处缓慢往下推，使管下部空气柱长度变为 $\mathsf { I } _ { 1 } ^ { \prime } { = } 2 0 . 0 \mathsf { c m }$ 。假设活塞下推过程中没有漏气，已知大气压强为 $\mathsf { p } _ { 0 } { = } 7 5 . 0 \mathsf { c m } \mathsf { H g }$ ． 求：
（1）最后下部分气体的压强；
（2）活塞下推的距离。
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（1）以玻璃管下部封闭气体为研究对象。
设大气压强为 $p_0$，水银柱长度为 $l_2$，下部气柱初始长度为 $l_1$，末态长度为 $l_1'$。
初始状态下，下部气体的压强 $p_1$ 为：
$$ p_1 = p_0 + l_2 = 75.0 + 25.0 = 100.0 \text{ cmHg} $$
活塞缓慢下推过程中，气体温度不变，遵循玻意耳定律 $p_1 V_1 = p_1' V_1'$。由于玻璃管横截面积 $S$ 不变，可简化为 $p_1 l_1 = p_1' l_1'$。
代入数据：
$$ 100.0 \times 25.0 = p_1' \times 20.0 $$
解得最后下部分气体的压强：
$$ p_1' = 125.0 \text{ cmHg} $$
（2）以玻璃管上部封闭气体为研究对象。
初始状态下，上部气体压强 $p_3 = p_0 = 75.0 \text{ cmHg}$，长度 $l_3 = 40.0 \text{ cm}$。
末态时，下部气体压强为 $p_1'$，则上部气体压强 $p_3'$ 满足力学平衡关系：
$$ p_3' = p_1' - l_2 = 125.0 - 25.0 = 100.0 \text{ cmHg} $$
设活塞下推距离为 $\Delta l$。
在下推过程中，下部气柱长度缩短了 $l_1 - l_1'$，这部分空间被水银柱和上部气体占据或压缩。
根据几何关系，上部气柱的末态长度 $l_3'$ 为：
$$ l_3' = l_3 + (l_1 - l_1') - \Delta l $$
对上部气体应用玻意耳定律 $p_3 l_3 = p_3' l_3'$：
$$ 75.0 \times 40.0 = 100.0 \times l_3' $$
解得：
$$ l_3' = 30.0 \text{ cm} $$
将 $l_3'$ 代入几何关系式求解 $\Delta l$：
$$ 30.0 = 40.0 + (25.0 - 20.0) - \Delta l $$
$$ 30.0 = 45.0 - \Delta l $$
$$ \Delta l = 15.0 \text{ cm} $$
即活塞下推的距离为 15.0 cm。