20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线
$l: y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$．
（I）求椭圆 E 的方程及点 $T$ 的坐标；
（II）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l$＇平行于 $O T$，与椭圆 E 交于不同的两点 $A, B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$．证明：存在常数 $\lambda$，使得 $|P T|^{2}=\lambda|P A| \cdot|P B|$，并求 $\lambda$ 的值．
Answer key
（I）$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$，点 $T$ 坐标为 $(2,1)$；（II）$\lambda=\frac{4}{5}$． ##