（14分）（2016•浙江）在 ABC 中，内角 A，B，…——2016 高考数学第 16 题答案解析

（I）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $b+c=2a \cos B$ 转化为角的关系：
$$ \sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B $$
在 $\triangle ABC$ 中，$C = \pi - (A+B)$，故 $\sin C = \sin(A+B)$。代入上式得：
$$ \sin B + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B $$
展开 $\sin(A+B)$：
$$ \sin B + \sin A \cos B + \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B $$
移项整理：
$$ \sin B = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$
利用两角差的正弦公式，右边即为 $\sin(A-B)$，故：
$$ \sin B = \sin(A-B) $$
因为 $A, B$ 为三角形内角，所以 $B \in (0, \pi)$，且 $A-B \in (-\pi, \pi)$。
由 $\sin B = \sin(A-B)$ 可得两种情况：
1. $B = A - B + 2k\pi$ 或 $B = \pi - (A - B) + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)。
考虑到角度范围，若 $B = \pi - A + B$，则 $A = \pi$，不合题意，舍去。
故只能是 $B = A - B$，即 $A = 2B$。
又因为 $A < \pi$，所以 $2B < \pi \Rightarrow B < \frac{\pi}{2}$，此时 $A-B = B \in (0, \frac{\pi}{2})$，符合正弦值相等的条件。
综上，$A = 2B$。

（II）由三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}bc \sin A$ 及已知 $S = \frac{a^2}{4}$，得：
$$ \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{a^2}{4} \implies 2bc \sin A = a^2 $$
利用正弦定理将边化为角：$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$，代入上式：
$$ 2(2R \sin B)(2R \sin C) \sin A = (2R \sin A)^2 $$
$$ 8R^2 \sin B \sin C \sin A = 4R^2 \sin^2 A $$
因为 $A \in (0, \pi)$，$\sin A \neq 0$，两边约去 $4R^2 \sin A$：
$$ 2 \sin B \sin C = \sin A $$
由（I）知 $A = 2B$，故 $\sin A = \sin 2B = 2 \sin B \cos B$。代入上式：
$$ 2 \sin B \sin C = 2 \sin B \cos B $$
因为 $B \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\sin B \neq 0$，两边约去 $2 \sin B$：
$$ \sin C = \cos B $$
由于 $B \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\cos B = \sin(\frac{\pi}{2} - B)$ 或 $\cos B = \sin(\frac{\pi}{2} + B)$。
所以 $\sin C = \sin(\frac{\pi}{2} - B)$ 或 $\sin C = \sin(\frac{\pi}{2} + B)$。
由此可得：
1. $C = \frac{\pi}{2} - B$，即 $B + C = \frac{\pi}{2}$。
此时 $A = \pi - (B+C) = \frac{\pi}{2}$。
检验：若 $A = \frac{\pi}{2}$，则 $B = \frac{\pi}{4}$，$C = \frac{\pi}{4}$。满足 $A=2B$ 且 $\triangle ABC$ 存在。
2. $C = \frac{\pi}{2} + B$。
此时 $A = \pi - (B+C) = \pi - (B + \frac{\pi}{2} + B) = \frac{\pi}{2} - 2B$。
又已知 $A = 2B$，故 $2B = \frac{\pi}{2} - 2B \implies 4B = \frac{\pi}{2} \implies B = \frac{\pi}{8}$。
则 $A = 2B = \frac{\pi}{4}$。
检验：若 $A = \frac{\pi}{4}$，$B = \frac{\pi}{8}$，$C = \frac{5\pi}{8}$。满足 $A=2B$ 且 $C = \frac{\pi}{2} + B$，$\triangle ABC$ 存在。

综上所述，角 $A$ 的大小为 $\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{4}$。