（12分）已知a，b，c分别是 A B C 内角A，B，C…——2015 高考数学第 17 题答案解析

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知条件 $\sin^2 B = 2 \sin A \sin C$ 转化为边长关系：
$$ b^2 = 2ac $$

（Ⅰ）若 $a=b$，代入上式可得 $a^2 = 2ac$。因为 $a>0$，所以 $a=2c$，即 $c = \frac{1}{2}a$。
由余弦定理得：
$$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $$
将 $b=a$ 和 $c=\frac{1}{2}a$ 代入：
$$ \cos B = \frac{a^2 + (\frac{1}{2}a)^2 - a^2}{2a \cdot \frac{1}{2}a} = \frac{\frac{1}{4}a^2}{a^2} = \frac{1}{4} $$

（Ⅱ）若 $B=90^\circ$，则 $\triangle ABC$ 为直角三角形，满足勾股定理 $a^2 + c^2 = b^2$。
结合之前推导的 $b^2 = 2ac$，可得：
$$ a^2 + c^2 = 2ac $$
移项整理得：
$$ a^2 - 2ac + c^2 = 0 \implies (a-c)^2 = 0 $$
所以 $a=c$。
已知 $a=\sqrt{2}$，则 $c=\sqrt{2}$。
$\triangle ABC$ 的面积为：
$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1 $$