（1）由曲线 $C_1$ 的参数方程 $\begin{cases} x = \sqrt{3}\cos\alpha \\ y = \sin\alpha \end{cases}$，消去参数 $\alpha$。
因为 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$，且 $\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{3}}$，$\sin\alpha = y$，
所以 $C_1$ 的普通方程为 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$。
对于曲线 $C_2$，其极坐标方程为 $\rho\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$。
展开左边得：$\rho(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$，
即 $\rho(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta) = 2\sqrt{2}$，
化简得 $\rho\sin\theta + \rho\cos\theta = 4$。
由 $x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta$，代入上式得 $C_2$ 的直角坐标方程为 $x + y - 4 = 0$。
（2）点 $P$ 在椭圆 $C_1$ 上，点 $Q$ 在直线 $C_2$ 上，$|PQ|$ 的最小值即为椭圆上的点到直线 $x+y-4=0$ 的最小距离。
**方法一：参数法**
设 $P(\sqrt{3}\cos\alpha, \sin\alpha)$，则点 $P$ 到直线 $x+y-4=0$ 的距离为：
$$ d = \frac{|\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - 4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) - 4|}{\sqrt{2}} $$
利用辅助角公式，$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha = \sin(\alpha + \frac{\pi}{3})$，
所以 $d = \frac{|2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - 4|}{\sqrt{2}}$。
因为 $-1 \le \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 1$，所以 $-2 \le 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) \le 2$，
从而 $-6 \le 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - 4 \le -2$。
故 $|2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - 4|$ 的最小值为 $2$（当 $\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = 1$ 时取得）。
此时最小距离 $d_{\min} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
当 $\sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) = 1$ 时，取 $\alpha + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，令 $\alpha = \frac{\pi}{6}$，
此时 $x_P = \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$，
$y_P = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$。
即点 $P$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$。
**方法二：几何法（平行切线）**
设与直线 $x+y-4=0$ 平行的直线方程为 $x+y+m=0$。
联立直线与椭圆方程：
$\begin{cases} x+y+m=0 \Rightarrow y = -x-m \\ \frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \end{cases}$
代入消元得：$\frac{x^2}{3} + (-x-m)^2 = 1$，
整理得 $x^2 + 3(x^2 + 2mx + m^2) = 3$，
即 $4x^2 + 6mx + 3m^2 - 3 = 0$。
由直线与椭圆相切，判别式 $\Delta = 0$：
$\Delta = (6m)^2 - 4 \times 4 \times (3m^2 - 3) = 36m^2 - 48m^2 + 48 = 48 - 12m^2 = 0$，
解得 $m^2 = 4$，即 $m = \pm 2$。
两条切线分别为 $x+y+2=0$ 和 $x+y-2=0$。
直线 $C_2: x+y-4=0$ 与这两条平行线的距离分别为：
$d_1 = \frac{|-4 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$，
$d_2 = \frac{|-4 - (-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
显然最小距离为 $\sqrt{2}$，对应的切线方程为 $x+y-2=0$（即 $m=-2$）。
将 $m=-2$ 代入方程 $4x^2 - 12x + 9 = 0$，即 $(2x-3)^2=0$，解得 $x=\frac{3}{2}$。
代入 $y = -x - m = -\frac{3}{2} - (-2) = \frac{1}{2}$。
故此时点 $P$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$。
综上，$|PQ|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$，此时点 $P$ 的直角坐标为 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$。