（15 分）（2016•浙江）设函数 f ( x )= x…——2016 高考数学第 20 题答案解析

（I）要证 $f(x) \geqslant 1-x+x^{2}$，即证 $x^{3}+\frac{1}{x+1} \geqslant 1-x+x^{2}$。
移项整理，只需证 $\frac{1}{x+1} \geqslant 1-x+x^{2}-x^{3}$。
注意到右边为等比数列求和形式（公比为 $-x$），有：
$$1-x+x^{2}-x^{3} = \frac{1 \cdot [1-(-x)^4]}{1-(-x)} = \frac{1-x^4}{1+x}$$
因为 $x \in [0,1]$，所以 $x^4 \geqslant 0$，即 $1-x^4 \leqslant 1$。
又 $x+1 > 0$，所以：
$$\frac{1-x^4}{1+x} \leqslant \frac{1}{1+x}$$
即 $1-x+x^{2}-x^{3} \leqslant \frac{1}{x+1}$ 成立。
故原不等式 $f(x) \geqslant 1-x+x^{2}$ 得证。

（II）先证右边不等式 $f(x) \leqslant \frac{3}{2}$。
因为 $x \in [0,1]$，所以 $x^3 \leqslant x$。
则 $f(x) = x^3 + \frac{1}{x+1} \leqslant x + \frac{1}{x+1}$。
令 $g(x) = x + \frac{1}{x+1}$，考察 $g(x)$ 与 $\frac{3}{2}$ 的大小关系：
$$g(x) - \frac{3}{2} = x + \frac{1}{x+1} - \frac{3}{2} = \frac{2x(x+1)+2-3(x+1)}{2(x+1)} = \frac{2x^2+2x+2-3x-3}{2(x+1)} = \frac{2x^2-x-1}{2(x+1)}$$
分子因式分解得 $2x^2-x-1 = (2x+1)(x-1)$。
因为 $x \in [0,1]$，所以 $2x+1 > 0$，$x-1 \leqslant 0$，$2(x+1) > 0$。
所以 $g(x) - \frac{3}{2} \leqslant 0$，即 $g(x) \leqslant \frac{3}{2}$。
从而 $f(x) \leqslant g(x) \leqslant \frac{3}{2}$，当且仅当 $x=1$ 时取等号。

再证左边不等式 $f(x) > \frac{3}{4}$。
由（I）知 $f(x) \geqslant 1-x+x^2$。
配方得 $1-x+x^2 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$。
因为 $(x-\frac{1}{2})^2 \geqslant 0$，所以 $1-x+x^2 \geqslant \frac{3}{4}$。
此时需判断等号是否能同时成立。
若 $f(x) = \frac{3}{4}$，则需满足两个条件：
1. $f(x) = 1-x+x^2$，由（I）推导过程知，这要求 $\frac{1-x^4}{1+x} = \frac{1}{1+x}$，即 $x^4=0 \Rightarrow x=0$。
2. $1-x+x^2 = \frac{3}{4}$，即 $(x-\frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$。
显然 $x=0$ 与 $x=\frac{1}{2}$ 矛盾，故等号不能同时成立。
或者直接计算最小值点附近的函数值：
当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} + \frac{2}{3} = \frac{3+16}{24} = \frac{19}{24}$。
因为 $\frac{19}{24} > \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$，且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，结合下界估计可知 $f(x)$ 恒大于 $\frac{3}{4}$。
更严谨地，由 $f(x) \geqslant (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，仅当 $x=1/2$ 时右边取最小值 $3/4$，但此时左边 $f(1/2) = 19/24 > 3/4$。而在 $x \neq 1/2$ 时，$(x-1/2)^2 + 3/4 > 3/4$，故 $f(x) > 3/4$ 恒成立。

综上所述，$\frac{3}{4} < f(x) \leqslant \frac{3}{2}$。