已知点 A, B 关于坐标原点 O 对称， |A B|=A…——2019 高考数学第 21 题答案解析

由 $A,B$ 关于原点对称且 $|AB|=4$，得 $O$ 为 $AB$ 中点，且 $|OA|=|OB|=2$。

（1）设 $A(t,-t)$，则 $B(-t,t)$。由
\[ |AB|=\sqrt{(2t)^2+(-2t)^2}=4 \]
得 $t^2=2$。

圆心 $M$ 在弦 $AB$ 的垂直平分线上。直线 $AB$ 为 $y=-x$，故其垂直平分线为 $y=x$。设 $M(a,a)$，半径为 $r$。

圆与直线 $x+2=0$ 相切，所以
\[ r=|a+2|. \]
又
\[ r^2=|MA|^2=(a-t)^2+(a+t)^2=2a^2+2t^2=2a^2+4. \]
于是
\[ 2a^2+4=(a+2)^2, \]
解得 $a=0$ 或 $a=4$。

当 $a=0$ 时，$r=2$；当 $a=4$ 时，$r=6$。所以 $\odot M$ 的半径为 $2$ 或 $6$。

（2）设圆心 $M(x,y)$。因为 $M$ 到 $A,B$ 距离相等，所以 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上。又 $O$ 是 $AB$ 的中点，故 $OM\perp OA$。于是
\[ |MA|^2=|MO|^2+|OA|^2=x^2+y^2+4. \]

圆与直线 $x+2=0$ 相切，因此
\[ |MA|=|x+2|. \]
从而
\[ (x+2)^2=x^2+y^2+4, \]
化简得
\[ y^2=4x. \]
所以圆心 $M$ 的轨迹为抛物线 $y^2=4x$，其焦点为 $F(1,0)$，准线为 $x=-1$。

对抛物线 $y^2=4x$ 上的点 $M(x,y)$，有 $x\ge0$，且
\[ |MF|=x+1. \]
又因为
\[ |MA|=|x+2|=x+2, \]
所以
\[ |MA|-|MF|=(x+2)-(x+1)=1. \]

取 $P=F(1,0)$，则当 $A$ 运动时，
\[ |MA|-|MP|=1 \]
恒为定值。故存在满足条件的定点 $P$，其坐标为 $(1,0)$。