设 a, b, c R, a+b+c=0, a b c=1…——2020 高考数学第 23 题答案解析

（1）由已知 $a+b+c=0$，对等式两边平方得：
$$ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0 $$
移项变形可得：
$$ ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) $$
因为 $abc=1$，所以 $a,b,c$ 均不为 $0$，故 $a^2+b^2+c^2 > 0$。
从而：
$$ ab+bc+ca < 0 $$

（2）不妨设 $\max\{a,b,c\} = a$。
由 $abc=1 > 0$ 且 $a+b+c=0$ 可知，$a,b,c$ 中必有一个正数，两个负数。
因为 $a$ 是最大值，若 $a \le 0$，则 $b,c$ 也均为非正数，这与 $abc=1$ 矛盾，故 $a > 0$，且 $b < 0, c < 0$。

由 $a+b+c=0$ 得 $b+c = -a$。
由 $abc=1$ 得 $bc = \frac{1}{a}$。

考虑关于 $t$ 的一元二次方程，其两根为 $b, c$：
$$ t^2 - (b+c)t + bc = 0 $$
代入上述关系得：
$$ t^2 + at + \frac{1}{a} = 0 $$
因为 $b, c$ 是该方程的两个实根，所以判别式 $\Delta \ge 0$：
$$ \Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{a} \ge 0 $$
即：
$$ a^2 \ge \frac{4}{a} $$
因为 $a > 0$，两边同乘 $a$ 得：
$$ a^3 \ge 4 $$
解得：
$$ a \ge \sqrt[3]{4} $$
即 $\max\{a,b,c\} \ge \sqrt[3]{4}$。
当且仅当 $b=c=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$，$a=\sqrt[3]{4}$ 时取等号。