（14分）（2016•江苏）在 A B C 中，AC=6，…——2016 高考数学第 15 题答案解析

（1）在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\cos B = \frac{4}{5}$。
因为 $B \in (0, \pi)$，所以 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$。

由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$，得：
$$ AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} $$
代入已知数据 $AC=6, C=\frac{\pi}{4}, \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin B = \frac{3}{5}$：
$$ AB = \frac{6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{5}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{5}} = 5\sqrt{2} $$
故 $AB$ 的长为 $5\sqrt{2}$。

（2）在 $\triangle ABC$ 中，$A + B + C = \pi$，即 $A = \pi - (B+C)$。
所以 $\cos A = \cos[\pi - (B+C)] = -\cos(B+C)$。
展开两角和的余弦公式：
$$ \cos A = -(\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \sin B \sin C - \cos B \cos C $$
代入数值：
$$ \cos A = \frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{10} - \frac{4\sqrt{2}}{10} = -\frac{\sqrt{2}}{10} $$

因为 $A \in (0, \pi)$，且 $\cos A < 0$，说明 $A$ 为钝角，$\sin A > 0$。
$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{100}} = \sqrt{\frac{98}{100}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} $$

最后计算 $\cos(A - \frac{\pi}{6})$：
$$ \cos(A - \frac{\pi}{6}) = \cos A \cos \frac{\pi}{6} + \sin A \sin \frac{\pi}{6} $$
$$ = (-\frac{\sqrt{2}}{10}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{7\sqrt{2}}{10} \times \frac{1}{2} $$
$$ = -\frac{\sqrt{6}}{20} + \frac{7\sqrt{2}}{20} $$
$$ = \frac{7\sqrt{2} - \sqrt{6}}{20} $$