A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知…——2020 高考数学第 17 题答案解析

（1）由诱导公式 $\cos(\frac{\pi}{2} + A) = -\sin A$，原方程化为：
$$ \sin^2 A + \cos A = \frac{5}{4} $$
利用同角三角函数关系 $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$，代入得：
$$ 1 - \cos^2 A + \cos A = \frac{5}{4} $$
整理得关于 $\cos A$ 的一元二次方程：
$$ \cos^2 A - \cos A + \frac{1}{4} = 0 $$
即 $(\cos A - \frac{1}{2})^2 = 0$，解得 $\cos A = \frac{1}{2}$。
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \frac{\pi}{3}$。

（2）由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ 及 $A = \frac{\pi}{3}$，得：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - bc \quad \cdots ① $$
已知条件为 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$，即 $a = \sqrt{3}(b - c)$。
将 $a$ 的表达式代入 ① 式：
$$ [\sqrt{3}(b - c)]^2 = b^2 + c^2 - bc $$
$$ 3(b^2 - 2bc + c^2) = b^2 + c^2 - bc $$
$$ 3b^2 - 6bc + 3c^2 = b^2 + c^2 - bc $$
移项合并同类项得：
$$ 2b^2 - 5bc + 2c^2 = 0 $$
因式分解得：
$$ (2b - c)(b - 2c) = 0 $$
解得 $b = \frac{1}{2}c$ 或 $b = 2c$。
由已知 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ 且 $a > 0$，可知 $b - c > 0$，即 $b > c$。
因此舍去 $b = \frac{1}{2}c$，取 $b = 2c$。
此时，$a = \sqrt{3}(2c - c) = \sqrt{3}c$。
检验三边关系：
$$ a^2 + c^2 = (\sqrt{3}c)^2 + c^2 = 3c^2 + c^2 = 4c^2 $$
$$ b^2 = (2c)^2 = 4c^2 $$
故 $a^2 + c^2 = b^2$。
根据勾股定理逆定理，$\triangle ABC$ 是以 $B$ 为直角的直角三角形。