（Ⅰ）证明：
设 $A(x_1, \frac{x_1^2}{2p})$，$B(x_2, \frac{x_2^2}{2p})$，$M(x_0, -2p)$。
由抛物线方程 $x^2 = 2py$ 得 $y = \frac{x^2}{2p}$，求导得 $y' = \frac{x}{p}$。
所以切线 $MA$ 的斜率 $k_{MA} = \frac{x_1}{p}$，切线 $MB$ 的斜率 $k_{MB} = \frac{x_2}{p}$。
直线 $MA$ 的方程为：$y + 2p = \frac{x_1}{p}(x - x_0)$。
因为点 $A$ 在直线 $MA$ 上，代入坐标得：$\frac{x_1^2}{2p} + 2p = \frac{x_1}{p}(x_1 - x_0)$。
整理得：$\frac{x_1^2}{2} + 2p^2 = x_1^2 - x_1 x_0 \Rightarrow x_1^2 - 2x_1 x_0 - 4p^2 = 0$ ①。
同理，点 $B$ 在直线 $MB$ 上，可得：$x_2^2 - 2x_2 x_0 - 4p^2 = 0$ ②。
由①②可知，$x_1, x_2$ 是关于 $t$ 的一元二次方程 $t^2 - 2x_0 t - 4p^2 = 0$ 的两个根。
根据韦达定理，有 $x_1 + x_2 = 2x_0$，即 $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$。
所以 $A, M, B$ 三点的横坐标成等差数列。
（Ⅱ）解：
当 $M(2, -2p)$ 时，$x_0 = 2$。
由（Ⅰ）知，$x_1, x_2$ 是方程 $t^2 - 4t - 4p^2 = 0$ 的两根。
所以 $x_1 + x_2 = 4$，$x_1 x_2 = -4p^2$。
直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = \frac{\frac{x_2^2}{2p} - \frac{x_1^2}{2p}}{x_2 - x_1} = \frac{x_1 + x_2}{2p} = \frac{4}{2p} = \frac{2}{p}$。
弦长 $|AB| = \sqrt{1 + k_{AB}^2} |x_1 - x_2|$
$= \sqrt{1 + (\frac{2}{p})^2} \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$
$= \sqrt{1 + \frac{4}{p^2}} \sqrt{16 - 4(-4p^2)}$
$= \sqrt{\frac{p^2 + 4}{p^2}} \cdot \sqrt{16 + 16p^2}$
$= \frac{\sqrt{p^2 + 4}}{p} \cdot 4\sqrt{1 + p^2}$。
已知 $|AB| = 4\sqrt{10}$，则：
$\frac{4\sqrt{(p^2 + 4)(p^2 + 1)}}{p} = 4\sqrt{10}$
$\frac{(p^2 + 4)(p^2 + 1)}{p^2} = 10$
$p^4 + 5p^2 + 4 = 10p^2$
$p^4 - 5p^2 + 4 = 0$
$(p^2 - 1)(p^2 - 4) = 0$。
因为 $p > 0$，解得 $p = 1$ 或 $p = 2$。
当 $p = 1$ 时，抛物线方程为 $x^2 = 2y$；
当 $p = 2$ 时，抛物线方程为 $x^2 = 4y$。
故所求抛物线方程为 $x^2 = 2y$ 或 $x^2 = 4y$。
（Ⅲ）解：
假设存在满足题意的点 $M$。
由 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 可知，四边形 $OACB$ 为平行四边形，且 $C$ 点坐标为 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
由（Ⅰ）知 $x_1 + x_2 = 2x_0$，
$y_1 + y_2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{2p} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{2p} = \frac{4x_0^2 - 2(-4p^2)}{2p} = \frac{2x_0^2 + 4p^2}{p}$。
所以 $C(2x_0, \frac{2x_0^2 + 4p^2}{p})$。
设 $D(x_3, y_3)$ 是 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点，且 $D$ 在抛物线上，即 $x_3^2 = 2py_3$。
直线 $AB$ 的方程为：$y - y_1 = \frac{x_0}{p}(x - x_1)$，即 $y = \frac{x_0}{p}x - \frac{x_0 x_1}{p} + \frac{x_1^2}{2p}$。
化简得直线 $AB$ 的一般式方程：$2x_0 x - 2py + 2x_0 x_1 - x_1^2 = 0$ ? 这种形式较繁琐，改用点斜式结合中点性质。
直线 $AB$ 斜率为 $k = \frac{x_0}{p}$。
因为 $CD \perp AB$，所以直线 $CD$ 的斜率 $k_{CD} = -\frac{p}{x_0}$ ($x_0 \neq 0$)。
若 $x_0 = 0$，则 $M(0, -2p)$，此时 $A, B$ 关于 $y$ 轴对称，$C$ 在 $y$ 轴上，$AB$ 水平。$D$ 为 $C$ 关于 $AB$ 对称点，也在 $y$ 轴上。
当 $x_0 = 0$ 时，$x_1 = -x_2 = 2p$ (由 $t^2 - 4p^2=0$)，$A(-2p, 2p), B(2p, 2p)$。
$C(0, 4p)$。直线 $AB$ 为 $y = 2p$。
$C$ 关于 $y=2p$ 的对称点 $D$ 为 $(0, 0)$。
$D(0,0)$ 在抛物线 $x^2=2py$ 上。此时 $M(0, -2p)$ 符合题意。
若 $x_0 \neq 0$：
设 $CD$ 中点为 $Q$，则 $Q$ 在直线 $AB$ 上，且 $CD \perp AB$。
直线 $CD$ 方程：$y - y_C = -\frac{p}{x_0}(x - x_C)$。
即 $y - \frac{2x_0^2 + 4p^2}{p} = -\frac{p}{x_0}(x - 2x_0)$。
联立直线 $AB$ 方程 $y = \frac{x_0}{p}x + b$ (其中截距 $b$ 可通过 $A$ 点求得，或利用几何性质)。
更简便的方法：利用向量或参数方程。
直线 $AB$ 方程可写为：$x_0 x - py - 2p^2 = 0$ ? 验证一下：
$A(x_1, x_1^2/2p)$ 代入：$x_0 x_1 - p(x_1^2/2p) - 2p^2 = x_0 x_1 - x_1^2/2 - 2p^2$。
由 $x_1^2 - 2x_0 x_1 - 4p^2 = 0 \Rightarrow x_1^2/2 - x_0 x_1 - 2p^2 = 0 \Rightarrow x_0 x_1 - x_1^2/2 - 2p^2 = 0$。成立。
所以直线 $AB$ 方程为：$x_0 x - py - 2p^2 = 0$。
设 $D(x_3, y_3)$。
$CD$ 中点 $Q(\frac{2x_0 + x_3}{2}, \frac{y_C + y_3}{2})$ 在直线 $AB$ 上：
$x_0 (\frac{2x_0 + x_3}{2}) - p (\frac{y_C + y_3}{2}) - 2p^2 = 0$
$2x_0^2 + x_0 x_3 - p y_C - p y_3 - 4p^2 = 0$。
代入 $y_C = \frac{2x_0^2 + 4p^2}{p}$：
$2x_0^2 + x_0 x_3 - (2x_0^2 + 4p^2) - p y_3 - 4p^2 = 0$
$x_0 x_3 - p y_3 - 8p^2 = 0 \Rightarrow p y_3 = x_0 x_3 - 8p^2$ ③。
又 $CD \perp AB$，向量 $\overrightarrow{CD} = (x_3 - 2x_0, y_3 - y_C)$ 与直线 $AB$ 法向量 $(x_0, -p)$ 平行？不，是与方向向量 $(p, x_0)$ 垂直，或与法向量 $(x_0, -p)$ 平行的是直线AB的法线方向，即CD方向。
所以 $\frac{y_3 - y_C}{x_3 - 2x_0} = -\frac{p}{x_0}$
$x_0(y_3 - y_C) = -p(x_3 - 2x_0)$
$x_0 y_3 - x_0 y_C = -p x_3 + 2p x_0$
$x_0 y_3 + p x_3 = x_0 y_C + 2p x_0$
代入 $y_C$：
$x_0 y_3 + p x_3 = x_0 (\frac{2x_0^2 + 4p^2}{p}) + 2p x_0 = \frac{2x_0^3 + 4p^2 x_0 + 2p^2 x_0}{p} = \frac{2x_0^3 + 6p^2 x_0}{p}$ ④。
由③得 $y_3 = \frac{x_0 x_3 - 8p^2}{p}$，代入④：
$x_0 (\frac{x_0 x_3 - 8p^2}{p}) + p x_3 = \frac{2x_0^3 + 6p^2 x_0}{p}$
两边乘 $p$：
$x_0^2 x_3 - 8p^2 x_0 + p^2 x_3 = 2x_0^3 + 6p^2 x_0$
$(x_0^2 + p^2) x_3 = 2x_0^3 + 14p^2 x_0$
$x_3 = \frac{2x_0(x_0^2 + 7p^2)}{x_0^2 + p^2}$。
因为 $D$ 在抛物线上，$x_3^2 = 2p y_3$。
将 $y_3 = \frac{x_0 x_3 - 8p^2}{p}$ 代入：
$x_3^2 = 2p (\frac{x_0 x_3 - 8p^2}{p}) = 2x_0 x_3 - 16p^2$
$x_3^2 - 2x_0 x_3 + 16p^2 = 0$。
将 $x_3$ 的表达式代入上式：
$[\frac{2x_0(x_0^2 + 7p^2)}{x_0^2 + p^2}]^2 - 2x_0 [\frac{2x_0(x_0^2 + 7p^2)}{x_0^2 + p^2}] + 16p^2 = 0$
令 $u = x_0^2, v = p^2$。
$[\frac{2\sqrt{u}(u + 7v)}{u + v}]^2 - \frac{4u(u + 7v)}{u + v} + 16v = 0$
$\frac{4u(u + 7v)^2}{(u + v)^2} - \frac{4u(u + 7v)(u + v)}{(u + v)^2} + \frac{16v(u + v)^2}{(u + v)^2} = 0$
分子为0：
$4u(u^2 + 14uv + 49v^2) - 4u(u^2 + 8uv + 7v^2) + 16v(u^2 + 2uv + v^2) = 0$
除以4：
$u(u^2 + 14uv + 49v^2) - u(u^2 + 8uv + 7v^2) + 4v(u^2 + 2uv + v^2) = 0$
$(u^3 + 14u^2v + 49uv^2) - (u^3 + 8u^2v + 7uv^2) + (4vu^2 + 8uv^2 + 4v^3) = 0$
合并同类项：
$u^3$ 项：$1 - 1 = 0$
$u^2v$ 项：$14 - 8 + 4 = 10$
$uv^2$ 项：$49 - 7 + 8 = 50$
$v^3$ 项：$4$
即 $10 u^2 v + 50 u v^2 + 4 v^3 = 0$。
因为 $v = p^2 > 0$，除以 $2v$：
$5 u^2 + 25 u v + 2 v^2 = 0$。
这是一个关于 $u$ 的二次方程，判别式 $\Delta = (25v)^2 - 4(5)(2v^2) = 625v^2 - 40v^2 = 585v^2 > 0$。
解得 $u = \frac{-25v \pm \sqrt{585}v}{10}$。
因为 $v > 0$，$\sqrt{585} < 25$ (因 $25^2=625$)，所以 $-25v \pm \sqrt{585}v$ 均为负数。
即 $u < 0$。
但 $u = x_0^2 \ge 0$，矛盾。
所以 $x_0 \neq 0$ 时无解。
综上所述，仅当 $x_0 = 0$ 时存在满足条件的点 $M$。
此时 $M$ 的坐标为 $(0, -2p)$。
