如图 1，在直角梯形 A B C D 中， A D / /…——2015 高考数学第 18 题答案解析

（I）证明：
在图 1 中，因为 $AB=BC=\frac{1}{2}AD=a$，$E$ 是 $AD$ 的中点，且 $\angle BAD = \frac{\pi}{2}$，
所以 $AE = \frac{1}{2}AD = a = BC$，且 $AE // BC$。
又因为 $\angle BAD = 90^\circ$，即 $AB \perp AD$，所以四边形 $ABCE$ 为正方形。
因此，对角线互相垂直，即 $BE \perp AC$。
设 $AC$ 与 $BE$ 交于点 $O$，则 $BE \perp AO$，$BE \perp OC$。

在图 2 中，折叠后 $A_1O$ 对应原来的 $AO$，故仍有 $BE \perp A_1O$。
同时，底面图形未变，故 $BE \perp OC$ 依然成立。
因为 $A_1O \cap OC = O$，且 $A_1O, OC \subset$ 平面 $A_1OC$，
所以 $BE \perp$ 平面 $A_1OC$。

又在直角梯形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AD$ 中点，$BC = \frac{1}{2}AD = ED$，且 $BC // AD$，
所以 $BC // ED$ 且 $BC = ED$。
故四边形 $BCDE$ 为平行四边形，从而 $CD // BE$。
因为 $BE \perp$ 平面 $A_1OC$，且 $CD // BE$，
所以 $CD \perp$ 平面 $A_1OC$。

（II）解：
由已知条件，平面 $A_1BE \perp$ 平面 $BCDE$，且两平面的交线为 $BE$。
由（I）可知 $A_1O \perp BE$，且 $A_1O \subset$ 平面 $A_1BE$。
根据面面垂直的性质定理，可得 $A_1O \perp$ 平面 $BCDE$。
即 $A_1O$ 为四棱锥 $A_1-BCDE$ 的高。

在正方形 $ABCE$ 中，边长为 $a$，对角线 $AC = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2}a$。
$O$ 为对角线交点，故 $A_1O = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。

底面四边形 $BCDE$ 为平行四边形，其面积 $S_{BCDE}$ 可以看作是以 $BC$ 为底，$AB$ 为高的平行四边形面积（或者两个全等三角形面积之和）：
$S_{BCDE} = BC \cdot AB = a \cdot a = a^2$。

四棱锥 $A_1-BCDE$ 的体积 $V$ 为：
$$ V = \frac{1}{3} S_{BCDE} \cdot A_1O = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 $$

由题设知 $V = 36\sqrt{2}$，故：
$$ \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 = 36\sqrt{2} $$
$$ \frac{1}{6}a^3 = 36 $$
$$ a^3 = 216 $$
解得 $a = 6$。