直线、平面垂直的判定与性质　·　历年高考数学真题与解析

4．若 $m$ 为直线，$\alpha, \beta$ 为两个平面，则下列结论中正确的是

4. 若m为直线， $\alpha , \beta$ 为两个平面，则下列结论中正确的是

10．在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，$P A=P B=2, P C=\sqrt{6}$ ，则该棱锥的体积为（

18．如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}$ ．

（1）证明：平面 $A C C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
②设 $A B=A_{1} B, A A_{1}=2$ ，求四棱锥 $A_{1}-B B_{1} C_{1} C$ 的高．

9．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（ ）

12．在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， $\mu \in[0,1]$ ，则（ ）

20．如图，在三棱锥 $A-B C D$ 中，平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D, A B=A D, O$ 为 $B D$ 的中点．

（1）证明：$O A \perp C D$ ；
（2）若 $\triangle O C D$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，$D E=2 E A$ ，且二面角 $E-B C-D$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $A-B C D$ 的体积．

6．如图已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, M, N$ 分别是 $A_{1} D, D_{1} B$ 的中点，则（ ）

16．已知直四棱柱 $A B C D-$
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为 $2, \angle B A D=60^{\circ}$ ．以 $D_{1}$ 为球心，$\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\_\_\_\_$

18．如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$A E$ 为底面直径，$A E=A D . \triangle A B C$是底面的内接正三角形，$P$ 为 $D O$ 上一点，$P O=\frac{\sqrt{6}}{6} D O$ ．

（1）证明：$P A \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）求二面角 $B-P C-E$ 的余弦值．

19．如图，三棱台 $D E F-A B C$ 中，面 $A D F C \perp$ 面 $A B C, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, D C=2 B C$ ．
（ I ）证明：$E F \perp D B$ ；
（II）求 $D F$ 与面 $D B C$ 所成角的正弦值．

19．如图，$D$ 为圆锥的顶点，$O$ 是圆锥底面的圆心，$\triangle A B C$ 是底面的内接正三角形，$P$ 为 $D O$ 上一点，$\angle A P C=90^{\circ}$ ．

（1）证明：平面 $P A B \perp$ 平面 $P A C$ ；
（2）设 $D O=\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} \pi$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

20．如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点，过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．

（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp E B_{1} C_{1} F$ ；
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $A O=A B$ ，求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} A M N$ 所成角的正弦值．

20．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

（1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．

20．如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点．过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．

（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ；
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O=A B=6, A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $\angle M P N=\frac{\pi}{3}$ ，求四棱锥 $B- E B_{1} C_{1} F$ 的体积．

12．（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
（1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： $\_\_\_\_$若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

13．（5 分）已知 $l, m$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
（1）$l \perp m$ ；（2）$m / / \alpha$ ；（3）$l \perp \alpha$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若 $l \perp \alpha, l \perp m$ ，则 $m / / \alpha$ 。

17．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，$B E \perp E C_{1}$ ．

（1）证明：$B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $A E=A_{1} E, A B=3$ ，求四棱锥 $E-B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

18．（14分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形，$E$ 为 $C D$的中点．
（I）求证：$B D \perp$ 平面 $P A C$ ；
（II）若 $\angle A B C=60^{\circ}$ ，求证：平面 $P A B \perp$ 平面 $P A E$ ；
（III）棱 $P B$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $C F / /$ 平面 $P A E$ ？说明理由．

19．图1是由矩形 $A D E B$, Rt $\triangle A B C$ 和菱形 $B F G C$ 组成的一个平面图形，其中 $A B=1, B E=B F=2, \angle F B C=60^{\circ}$ ，将其沿 $A B, B C$ 折起使得 $B E$ 与 $B F$ 重合，连结 $D G$ ，如图2．
（1）证明图2中的 $A, C, G, D$ 四点共面，且平面 $A B C \perp$ 平面 $B C G E$ ；
（2）求图2中的四边形 $A C G D$ 的面积．

图1

图2

19．如图，已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}$ ， $\angle B A C=30^{\circ}, A_{1} A=A_{1} C=A C, E, F$ 分别是 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点．

（1）证明：$E F \perp B C$ ；
（2）求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值．

8．如图，点 $N$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，$\triangle E C D$ 为正三角形，平面 $E C D \perp$ 平面 $A B C D, M$是线段 $E D$ 的中点，则（ ）

2． （5分） （2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，
n⊥β，则（　　）

18．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台 $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ 中，平面 $\mathrm{BCFE} \perp$ 平面 ABC ， $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{BE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FC}=1, \mathrm{BC}=2, \mathrm{AC}=3$ ．
（I）求证： $\mathrm{BF} \perp$ 平面 ACFD ；
（II）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值。

17．（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

18．（14分）如图，在三棱锥 $V-A B C$ 中，平面 $V A B \perp$ 平面 $A B C, \triangle V A B$ 为等边三角形，$A C \perp B C$ 且 $A C=B C=\sqrt{2}, O, M$ 分别为 $A B, V A$ 的中点。

（1）求证：$V B / /$ 平面 $M O C$ ；
（2）求证：平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$
（3）求三棱锥 V－ABC的体积．

18．如图 1，在直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=\frac{\pi}{2}, A B=B C=\frac{1}{2} A D=a, E$ 是 $A D$ 的中点，$O$是 $O C$ 与 $B E$ 的交点，将 $\triangle A B E$ 沿 $B E$ 折起到图 2 中 $\triangle A_{1} B E$ 的位置，得到四棱锥 $A_{1}-B C D E$ ．
（I）证明：$C D \perp$ 平面 $A_{1} O C$ ；

（II）当平面 $A_{1} B E \perp$ 平面 $B C D E$ 时，四棱锥 $A_{1}-B C D E$ 的体积为 $36 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值．

图1

图2

19．（本小题满分 12 分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。
如图，在阳马 $P-A B C D$ 中，侧棱 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D=C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F \perp P B$ 交 $P B$于点 $F$ ，连接 $D E, D F, B D, B E$ ．
（I）证明：$P B \perp$ 平面 $D E F$ 。试判断四面体 $D B E F$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（II）若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

20、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）

如题（20）图，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中，平面 $\mathrm{PAC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$ ，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 在线段 AC 上，且 $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4$ ，点 F 在线段 AB 上，且 $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PFE ．
（II）若四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{DFBC}$ 的体积为 7 ，求线段 BC 的长．

20．（本题满分 12 分）
如图，$A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点， PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 $\mathrm{PO}=\mathrm{OB}=1$ ．
（I）若 $D$ 为线段 $A C$ 的中点，求证 $\mathrm{AC} \mathrm{\perp}$ 平面 PDO ；
（II）求三棱锥 $P-A B C$ 体积的最大值；
（III）若 $B C=\sqrt{2}$ ，点 $E$ 在线段 $P B$ 上，求 $C E+O E$ 的最小值．

20．（本小题满分 13 分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鱉臑。

在如图所示的阳马 $P-A B C D$ 中，侧棱 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，连接 $D E, B D, B E$ ．

（I）证明：$D E \perp$ 平面 $P B C$ ．试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（II）记阳马 $P-A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $E B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

4． （5分） （2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，
m⊂β， （　　）
　A
．
若l⊥β，则
α⊥β
B
．
若α⊥β，则
l⊥m
C
．
若l∥β， 则α∥βD
．
若α∥β，则
l∥m

7．若 $l, m$ 是两条不同的直线，$m$ 垂直于平面 $\alpha$ ，则＂$l \perp m$＂是＂$l / / \alpha$ 的

4．已知 $m, n$ 表示两条不同直线，$\alpha$ 表示平面，下列说法正确的是
$A$ ．若 $m / / \alpha, n / / \alpha$ ，则 $m / / n$ ，
B．若 $m \perp \alpha, n \subset \alpha$ ，则 $m \perp n$
$C$ ．若 $m \perp \alpha, m \perp n$ ，则 $n / / \alpha$
D．若 $m / / \alpha, m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha$

17．（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积

19．（本小题满分 12 分）
如图5，在直棱柱
$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$．
（I）证明：$A C \perp B_{1} D$；
（II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。

图5

19、（本小题满分 12 分）

如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥

$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$C A=C B, A B=A A_{1}, ~ \angle B A A_{1}=60^{\circ}$
（I）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（II）若 $A B=C B=2, A_{1} C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

4．（5分）已知 $m$ ，$n$ 为异面直线，$m \perp$ 平面 $\alpha, n \perp$ 平面 $\beta$ ．直线 $k$ 满足 $|\perp m,| \perp n$ ，$I \not \subset \alpha$ ，$I \not \subset \beta$ ，则（ ）

（14）若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}-\vec{b}| \leq 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的底面为正方形， $\mathrm{SD} \perp$ 底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是

（6）如图，已知六棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCDEF}$ 的底面是正六边形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{PA}=2 \mathrm{AB}$ ，则下列结论正确的是

10．（5分）（2008•陕西）如图，$\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta=1, A \in \alpha, B \in \beta, A , B$ 到 1 的距离分别是 $a$ 和b．$A B$ 与 $\alpha , \beta$ 所成的角分别是 $\theta$ 和 $\phi, A B$ 在 $\alpha , \beta$ 内的射影分别是 $m$ 和 $n$ 。若 $a>b$ ，则（）