2009 北京卷 · 理 数学

3．为了得到函数 $y=\lg \frac{x+3}{10}$ 的图像，只需把函数 $y=\lg x$ 的图像上所有的点

4．若正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1, A B_{1}$ 与底面 $A B C D$ 成 $60^{\circ}$ 角，则 $A_{1} C_{1}$到底面 $A B C D$ 的距离为

5．＂$\alpha=\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in Z)$＂是＂ $\cos 2 \alpha=\frac{1}{2}$＂的

6．若 $(1+\sqrt{2})^{5}+a+b \sqrt{2}$（ $a, b$ 为有理数），则 $a+b=$

7．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

8．点 $P$ 在直线 $l: y=x-1$ 上，若存在过 $P$ 的直线交抛物线 $y=x^{2}$ 于 $A, B$ 两点，且 $|P A=|A B|$ ，则称点 $P$ 为＂ $\mathscr{B}$ 点＂，那么下列结论中正确的是

9． $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x \sqrt{x}-x}{x-1}=$ $\_\_\_\_$。

10．若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geq 0 \\ x \leq 4 \\ y \leq 5\end{array}\right.$ 则 $s=y-x$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

11．设 $f(x)$ 是偶函数，若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的斜率为 1 ，则该曲线在点 $(-1, f(-1))$ 处的切线的斜率为 $\_\_\_\_$。

12．椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，若 $\left|P F_{1}\right|=4$ ，则 $\left|P F_{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ ＿$\angle F_{1} P F_{2}$ 的小大为 $\_\_\_\_$。

13．若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}, \quad x<0 \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{x}, x \geq 0\end{array}\right.$ 则不等式 $|f(x)| \geq \frac{1}{3}$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

14．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{4 n-3}=1, a_{4 n-1}=0, a_{2 n}=a_{n}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，则 $a_{2009}=$ $\_\_\_\_$ ；$a_{2014}=$
$\_\_\_\_$。

15．（本小题共 13 分）

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, B=\frac{\pi}{3}, \cos A=\frac{4}{5}, b=\sqrt{3}$ 。
（I）求 $\sin C$ 的值；
（II）求 $\triangle A B C$ 的面积。

17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min 。
（I）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（II）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望。

19．（本小题共14分）
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
（I）求双曲线 $C$ 的方程；
（II）设直线 $l$ 是圆 $O: x^{2}+y^{2}=2$ 上动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} y_{0} \neq 0\right)$ 处的切线，$l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，证明 $\angle A O B$ 的大小为定值。