计数原理　·　历年高考数学真题与解析

23．（本题满分 10 分）
对于正整数 $n \geq 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的概率。
（1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ；
（2）求证：对任意正整数 $n \geq 2$ ，有 $P_{n}>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$ ．