概率　·　历年高考数学真题与解析

5．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点，记该点为 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

7．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ ，直角边 $A B, A C$ －$\triangle A B C$ 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$ ，则（ ）

2．（5分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

7．（5 分）记函数 $f(x)=\sqrt{6+x-x^{2}}$ 定义域为 D．在区间 $[-4,5]$ 上随机取一个数

$x$ ，则 $x \in D$ 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8： 30 发车，小明在7：50至8： 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）

13．如图，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$ ，函数 $f(x)=x^{2}$ ，若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 $\_\_\_\_$。

15．在区间 $[0,5]$ 上随机地选择一个数 p ，则方程 $x^{2}+2 p x+3 p-2=0$ 有两个负根的概率为 $\_\_\_\_$ ．

7．在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x, y$ ，记 $p_{1}$ 为事件＂$x+y \geq \frac{1}{2}$＂的概率，$p_{2}$ 为事件＂$|x-y| \leq \frac{1}{2}$＂的概率， $p_{3}$ 为事件＂$x y \leq \frac{1}{2}$＂的概率，则

8．如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$ ．且点 $C$ 与点 $D$ 在函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \geq 0 \\ -\frac{1}{2} x+1, x<0\end{array}\right.$ 的图像上．若在矩形 $A B C D$ 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于

14．正方形的四．个顶点 $A(-1,-1), B(1,-1), C(1,1), D(-1,1)$ 分别在抛物线 $y=-x^{2}$ 和 $y=x^{2}$ 上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 $\_\_\_\_$ ．

15．某校早上 8： 00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30－7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

5．在区间 $[-2,3]$ 上随机选取一个数 $X$，则 $X \leq 1$ 的概率为：

6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1$ ，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是

7．由不等式 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ y-x-2 \leq 0\end{array}\right.$ 确定的平面区域记为 $\Omega_{1}$ ，不等式 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 1 \\ x+y \geq-2\end{array}\right.$ ，确定的平面区域记为 $\Omega_{2}$ ，在 $\Omega_{1}$中随机取一点，则该点恰好在 $\Omega_{2}$ 内的概率为（）

10．如图，在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中，分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆。在扇形 $O A B$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

第 10 题图

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（II）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．

22．（12分）（I）设函数 $f(x)=\ln (1+x) \frac{2 x}{x+2}$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ，证明：

$ \mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} . $

11．在区间 $[-1,2]$ 上随机取一个数 $x$ ，则 $|x| \leq 1$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

23．（本题满分 10 分）
对于正整数 $n \geq 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的概率。
（1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ；
（2）求证：对任意正整数 $n \geq 2$ ，有 $P_{n}>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$ ．