2021_全国乙卷
22. 在直角坐标系xOy中，⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1.
（1）写出eC 的一个参数方程;
（2）过点 F 4,1作eC 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程
(1) $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 + \cos \alpha } \\ { y = 1 + \sin \alpha } \end{array} \right.$ ，（a为参数）； >; (2) $\rho \sin \left( \theta + { \frac { 5 \pi } { 6 } } \right) = 2 - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 和 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) = 2 + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 + \cos \alpha } \\ { y = 1 + \sin \alpha } \end{array} \right.$ ，（a为参数）；
> ② $\rho \sin \left( \theta + { \frac { 5 \pi } { 6 } } \right) = 2 - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 和 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) = 2 + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
【解析】
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】①由题意，eC 的普通方程为 $( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 1$
所以eC 的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 + \cos \alpha } \\ { y = 1 + \sin \alpha } \end{array} \right.$ ，（a为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线的距离为 $2 > r$ ，故舍去
②当切线斜率存在时，设其方程为 $y = k ( x - 4 ) + 1$ ，即 $k x - y - 4 k + 1 = 0$
故 $\frac { | 2 k - 1 - 4 k + 1 | } { \sqrt { 1 + { k } ^ { 2 } } } = 1$ ，即 $\mid 2 k \mid = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } , 4 k ^ { 2 } = 1 + k ^ { 2 }$ ，解得 $k = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$
所以切线方程为 $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ( x - 4 ) + 1$ 或 $y = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } ( x - 4 ) + 1$
两条切线的极坐标方程分别为 $\rho \sin \theta = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \rho \cos \theta - \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 } + 1$ 和 $\rho \sin \theta = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \rho \cos \theta + \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 } + 1$ 即 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { 5 \pi } { 6 } } \right) = 2 - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 和 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) = 2 + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
**方法二**：【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作 $\odot C$ 的两条切线，切点分别为 A，B
在 $\triangle A C F$ 中， $\tan \angle A F C = \frac { A C } { A F } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，又 $C F / / x$ 轴，所以两条切线FA FB, 的斜率分别 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ 和$- { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$
故切线的方程为 $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ( x - 4 ) + 1 , y = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \cdot ( x - 4 ) + 1$ ，这两条切线的极坐标方程为
$\rho \sin \theta = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } \rho \cos \theta - { \frac { 4 } { 3 } } { \sqrt { 3 } } + 1$ 和 $\rho \sin \theta = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \rho \cos \theta + \frac { 4 } { 3 } \sqrt { 3 } + 1$
即 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { 5 \pi } { 6 } } \right) = 2 - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ 和 $\rho \sin \left( \theta + { \frac { \pi } { 6 } } \right) = 2 + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
【整体点评】（2）
**方法一**：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，
**方法二**：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.