2015_浙江卷 (2015·文)
12．（6 分）（2015•浙江）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 1 \\ x+\frac{6}{x}-6, x>1\end{array}\right.$ ，则 $f(f(-2))=-\frac{1}{2}$ ， $f(x)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{6}-6$ ．
考点：
函数的最值及其几何意义。
专题：
函数的性质及应用。
分析：
由分段函数的特点易得 $f(f(-2))=$ 的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得。
$-\frac{1}{2} ; 2 \sqrt{6}-6$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
解答：
解：由题意可得 $f(-2)=(-2)^{2}=4$ ，
$\therefore f(f(-2))=f(4)=4+\frac{6}{4}-6=-\frac{1}{2}$ ；
∵ 当 $x \leq 1$ 时，$f(x)=x^{2}$ ，
由二次函数可知当 $\mathrm{x}=0$ 时，函数取最小值 0 ；
当 $x>1$ 时，$f(x)=x+\frac{6}{x}-6$ ，
由基本不等式可得 $f(x)=x+\frac{6}{x}-6 \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{6}{x}}-6=2 \sqrt{6}-6$ ，
当且仅当 $x=\frac{6}{x}$ 即 $x=\sqrt{6}$ 时取到等号，即此时函数取最小值 $2 \sqrt{6}-6$ ；
$\because 2 \sqrt{6}-6<0, \therefore f(x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}-6$
故答案为：$-\frac{1}{2} ; 2 \sqrt{6}-6$
点评：
本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．