（5分）数列 a _ n 满足 a _ n + 1 + ~…——2012 高考数学第 12 题答案解析

【考点】8E：数列的求和

【专题】54：等差数列与等比数列

【分析】由题意可得

$$ \mathtt { a } _ { 2 } - \mathtt { a } _ { 1 } = 1 , \mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 2 } = 3 , \mathtt { a } _ { 4 } - \mathtt { a } _ { 3 } = 5 , \mathtt { a } _ { 5 } + \mathtt { a } _ { 4 } = 7 , \mathtt { a } _ { 6 } - \mathtt { a } _ { 5 } = 9 , \mathtt { a } _ { 7 } + \mathtt { a } _ { 6 } = 1 1 , \mathtt { \ c } \mathtt { a } _ { 5 0 } - \mathtt { a } _ { 4 9 } = 9 7 $$

，变形可得

$$ a _ { 3 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 1 } = 2 , ~ a _ { 4 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 2 } = 8 , ~ \mathsf { a } _ { 7 } + \mathsf { a } _ { 5 } = 2 , ~ \mathsf { a } _ { 8 } ^ { + } \mathsf { a } _ { 6 } = 2 4 , ~ \mathsf { a } _ { 9 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 7 } = 2 , ~ \mathsf { a } _ { 1 2 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 1 0 } = 4 0 , ~ \mathsf { a } _ { 1 3 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 1 1 } = 2 , ~ \mathsf { a } _ { 1 6 } ^ { + } \dot { \bf a } _ { 1 4 } = 3 . $$

$= 5 6 ,$ ，…利用

数列的结构特征，求出 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前60项和

【解答】解：由于数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 ${ \sf a } _ { \sf n + 1 } + { \mathrm { ~ ~ \left( ~ \right. ~ } } - 1 { \mathrm { ~ ~ \left. ~ \right.} } ^ { \sf n } $

$a _ { n } = 2 n - 1$ ，故有

$$ a _ { 2 } - a _ { 1 } = 1 , ~ a _ { 3 } + a _ { 2 } = 3 , ~ a _ { 4 } - a _ { 3 } = 5 , $$

$$ a _ { 5 } + a _ { 4 } = 7 , a _ { 6 } - a _ { 5 } = 9 , a _ { 7 } + a _ { 6 } = 1 1 , . . . a _ { 5 0 } - a _ { 4 9 } = 9 7 . $$

从而可得

$$ \mathtt { a } _ { 3 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 1 } = 2 , ~ \mathtt { a } _ { 4 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 2 } = 8 , ~ \mathtt { a } _ { 7 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 5 } = 2 , ~ \mathtt { a } _ { 8 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 6 } = 2 4 , ~ \mathtt { a } _ { 1 1 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 9 } = 2 , ~ \mathtt { a } _ { 1 2 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 1 0 } = 4 0 , ~ \mathtt { a } _ { 1 5 } ^ { + } \mathtt { a } _ { 1 3 } = 2 , ~ \mathtt { a } _ { 1 6 } = 2 , ~ \mathtt { a } _ { 1 6 } = 3 . $$

$$ { } ^ { + } { \sf a } _ { 1 4 } { = } 5 6 , \quad \dots $$

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列

$\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前60项和为 $1 5 { \times } 2 ^ { + } ~ ( 1 5 { \times } 8 { + } \frac { 1 5 { \times } 1 4 } { 2 } { \times } 1 6 ) ~ { = } 1 8 3 0 ,$

故选：D

【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分