（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数…——2010 高考数学第 23 题答案解析

（I）当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ 时，直线 $C_1$ 的参数方程化为：
$$ \begin{cases} x = 1 + \frac{1}{2}t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases} $$
消去参数 $t$，由第一式得 $t = 2(x-1)$，代入第二式得 $y = \sqrt{3}(x-1)$，即直线 $C_1$ 的普通方程为 $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$。

曲线 $C_2$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{cases}$，消去 $\theta$ 得其普通方程为 $x^2 + y^2 = 1$。

联立直线与圆的方程：
$$ \begin{cases} y = \sqrt{3}(x-1) \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$
将 $y$ 代入圆方程：
$$ x^2 + [\sqrt{3}(x-1)]^2 = 1 \implies x^2 + 3(x^2 - 2x + 1) = 1 $$
整理得 $4x^2 - 6x + 2 = 0$，即 $2x^2 - 3x + 1 = 0$。
解得 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$。

当 $x=1$ 时，$y = \sqrt{3}(1-1) = 0$，交点为 $(1, 0)$；
当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y = \sqrt{3}(\frac{1}{2}-1) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，交点为 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

故 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标为 $(1, 0)$ 和 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

（II）直线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=1+t\cos\alpha \\ y=t\sin\alpha \end{cases}$。
消去 $t$：若 $\cos\alpha \neq 0$，则 $t = \frac{x-1}{\cos\alpha}$，代入 $y$ 得 $y = \tan\alpha(x-1)$，即 $x\sin\alpha - y\cos\alpha - \sin\alpha = 0$。
若 $\cos\alpha = 0$，则 $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$，此时直线方程为 $x=1$，上述一般式 $x(\pm 1) - 0 - (\pm 1) = 0 \implies x=1$ 依然成立。
故 $C_1$ 的普通方程为 $x\sin\alpha - y\cos\alpha - \sin\alpha = 0$。

设过原点 $O$ 且垂直于 $C_1$ 的直线为 $l'$。
因为 $C_1$ 的法向量为 $\vec{n} = (\sin\alpha, -\cos\alpha)$，方向向量为 $\vec{d} = (\cos\alpha, \sin\alpha)$。
直线 $l'$ 过原点且垂直于 $C_1$，故 $l'$ 的方向向量即为 $C_1$ 的法向量，或者利用斜率关系：
$C_1$ 的斜率为 $k = \tan\alpha$（$\cos\alpha \neq 0$），则垂线 $l'$ 的斜率为 $-\cot\alpha$。
$l'$ 的方程为 $y = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}x$（$\sin\alpha \neq 0$），即 $x\cos\alpha + y\sin\alpha = 0$。
（注：当 $\sin\alpha=0$ 时，$C_1$ 为 $y=0$，垂线为 $x=0$，公式 $x\cos\alpha + y\sin\alpha = 0$ 变为 $x(\pm 1)=0 \implies x=0$，亦成立。）

求垂足 $A$ 的坐标，联立 $C_1$ 与垂线方程：
$$ \begin{cases} x\sin\alpha - y\cos\alpha = \sin\alpha \quad \text{①} \\ x\cos\alpha + y\sin\alpha = 0 \quad \text{②} \end{cases} $$
由 ② 得 $y = -x\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$（设 $\sin\alpha \neq 0$），代入 ①：
$x\sin\alpha - (-x\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})\cos\alpha = \sin\alpha$
$x(\sin\alpha + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}) = \sin\alpha$
$x(\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha}) = \sin\alpha \implies \frac{x}{\sin\alpha} = \sin\alpha \implies x = \sin^2\alpha$。
进而 $y = -\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\sin\alpha\cos\alpha$。
故垂足 $A$ 的坐标为 $(\sin^2\alpha, -\sin\alpha\cos\alpha)$。
（经检验，当 $\sin\alpha=0$ 或 $\cos\alpha=0$ 时，该坐标公式同样适用。）

设 $P(x, y)$ 为 $OA$ 的中点，由中点坐标公式得：
$$ \begin{cases} x = \frac{0 + \sin^2\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin^2\alpha \\ y = \frac{0 - \sin\alpha\cos\alpha}{2} = -\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha \end{cases} $$
此即为点 $P$ 轨迹的参数方程（$\alpha$ 为参数）。

下面将其化为普通方程以识别曲线类型：
由 $x = \frac{1}{2}\sin^2\alpha$，得 $\sin^2\alpha = 2x$。
由 $y = -\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha$，得 $2y = -\sin\alpha\cos\alpha$，平方得 $4y^2 = \sin^2\alpha\cos^2\alpha$。
因为 $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - 2x$，
所以 $4y^2 = 2x(1 - 2x) = 2x - 4x^2$。
整理得 $4x^2 + 4y^2 - 2x = 0$，即 $x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0$。
配方得：
$$ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 $$
这是一个圆心在 $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$，半径为 $\frac{1}{4}$ 的圆。