（5分）已知函数f ( x ) = a x ^ 3 - 3…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【考点】53：函数的零点与方程根的关系

【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用

【分析】由题意可得f′ $( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 6 x = 3 x ( a x - 2 )$ ，f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可

【解答】解： ${ \mathfrak { a } } { \mathfrak { f } } ( \mathbf { x } ) = { \mathfrak { a } } \mathbf { x } ^ { 3 } - 3 \mathbf { x } ^ { 2 } + 1$

∴f′ $( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 6 x = 3 x ( a x - 2 )$ ，f（0）=1；

①当a=0时， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( { \textbf { \textsf { x } } } ) = - \ 3 { \times } ^ { 2 + 1 }$ 有两个零点，不成立；

②当 $\mathsf { q } > 0$ 时， ${ \sf f } { \mathrm { ~ ~ \left( ~ \right) ~ } } = { \sf a } { \sf x } ^ { 3 } - 3 { \sf x } ^ { 2 } + 1$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 0 \mathrm { ) }$ 上有零点，故不成立；

③当 $\mathsf { a } < 0$ 时， ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) \ { = } { \mathsf { a } } { \mathsf { x } } ^ { 3 } \ - \ 3 { \mathsf { x } } ^ { 2 } { + }$ 1在 $( 0 , \ + \infty )$ 上有且只有一个零点；

故f $( \mathsf { x } ) \mathsf { \Omega } = \mathsf { a x } ^ { 3 } - 3 \mathsf { x } ^ { 2 } + 1$ 在 $\mathrm { ~ ( ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ } 0 \mathrm { ) }$ 上没有零点；

而当 $x = \frac { 2 } { \hat { a } }$ 时， ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) = \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 3 } - 3 \mathbf { x } ^ { 2 } +$ 1在 $\left( \begin{array} { l l } { - \infty , } & { 0 } \end{array} \right)$ 上取得最小值；

故f $( \frac { 2 } { 9 } ) = \frac { 8 } { 9 } - 3 \bullet \frac { 4 } { 9 } + 1 > 0$

故 $\mathsf { a } < - \mathsf { 2 }$

综上所述，

实数a的取值范围是 $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } - 2 )$

故选：D

【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题