在直角坐标系 x O y 中，曲线 C_ 1 的参数方程为…——2022 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①$y^{2}=6 x-2(y \geq 0)$ ；
②$C_{3}, C_{1}$ 的交点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1\right),(1,2), C_{3}, C_{2}$ 的交点坐标为 $\left(-\frac{1}{2},-1\right),(-1,-2)$ ．

## 【解析】

【分析】（1）消去 $t$ ，即可得到 $C_{1}$ 的普通方程；
（2）将曲线 $C_{2}, C_{3}$ 的方程化成普通方程，联立求解即解出．

## 【小问 1 详解】

因为 $x=\frac{2+t}{6}, y=\sqrt{t}$ ，所以 $x=\frac{2+y^{2}}{6}$ ，即 $C_{1}$ 的普通方程为 $y^{2}=6 x-2(y \geq 0)$ ．

## 【小问 2 详解】

因为 $x=-\frac{2+s}{6}, y=-\sqrt{s}$ ，所以 $6 x=-2-y^{2}$ ，即 $C_{2}$ 的普通方程为 $y^{2}=-6 x-2(y \leq 0)$ ，

由 $2 \cos \theta-\sin \theta=0 \Rightarrow 2 \rho \cos \theta-\rho \sin \theta=0$ ，即 $C_{3}$ 的普通方程为 $2 x-y=0$ ．

联立 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=6 x-2(y \geq 0) \\ 2 x-y=0\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$ ，即交点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1\right),(1,2)$ ；
联立 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=-6 x-2(y \leq 0) \\ 2 x-y=0\end{array}\right.$ ，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2} \\ y=-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-2\end{array}\right.$ ，即交点坐标为 $\left(-\frac{1}{2},-1\right),(-1,-2)$ ．