范围错误高考易错题

12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为

20．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．

2．设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a^{3}=b^{3}$＂是＂ $3^{a}=3^{b}$＂的

5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）

7．已知函数 $f(x)=\sin 3\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ 。则函数在 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}\right]$ 的最小值是（ ）

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$ ，样本方差 $s^{2}=0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^{2}\right)$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{x}, s^{2}\right)$ ，则（ ）（若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$ ， $P(Z

7．在 $\triangle A B C$ 中，$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$ ，则 $\angle C=$（ ）

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$

5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30

6．有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为

12．己知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1, F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=$

15．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $C D, A_{1} B_{1}$ 的中点，则以 $E F$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 $\_\_\_\_$ ．

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.

（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

22．已知 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，$|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

7．设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ，则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|=$

5．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点，记该点为 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

7．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

10．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

11．已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，则 $x-y$ 的最大值是（）

12．设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（ ）

3．若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2}=2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（ ）

11．在 $\left(2 x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分別是 $a, b, c$ ．已知 $a=\sqrt{39}, b=2, \angle A=120^{\circ}$ ．
（1）求 $\sin B$ 的值；
（2）求 $c$ 的值；
（3）求 $\sin (B-C)$ ．

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．

（1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；
（2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；
（3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

5．设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1), C_{2}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ．若 $e_{2}=\sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a=()$

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．点 A 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\overrightarrow{F_{1} A} \perp \overrightarrow{F_{1} B}, \overrightarrow{F_{2} A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

10．设 $O$ 为坐标原点，直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，$l$ 为 $C$ 的准线，则（ ）．

21．已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M, N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ ．证明：点 $P$ 在定直线上．

9．已知正三棱锥 $P-A B C$ 的六条棱长均为 6，$S$ 是 $\triangle A B C$ 及其内部的点构成的集合．设集合 $T=\{Q \in S \mid P Q \leq 5\}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（ ）

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

10．椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为