范围错误高考易错题

2．设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a^{3}=b^{3}$＂是＂ $3^{a}=3^{b}$＂的

5．若 $a=4.2^{-0.3}, ~ b=4.2^{0.3}, ~ c=\log _{4.2} 0.2$ ，则 $a, ~ b, ~ c$ 的大小关系为（ ）

7．已知函数 $f(x)=\sin 3\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ 。则函数在 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}\right]$ 的最小值是（ ）

8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）

17．已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形，$A B / / C D, A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $A D \perp A B$ ，其中 $A B=A A_{1}=2, A D=D C=1 . N$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，$M$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

（1）求证 $D_{1} N / /$ 平面 $C B_{1} M$ ；
（2）求平面 $C B_{1} M$ 与平面 $B B_{1} C C_{1}$ 的夹角余弦值；
（3）求点 $B$ 到平面 $C B_{1} M$ 的距离．

18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

7．在 $\triangle A B C$ 中，$(a+c)(\sin A-\sin C)=b(\sin A-\sin B)$ ，则 $\angle C=$（ ）

14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的＂环权＂．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 $a_{1}=1, a_{5}=12, a_{9}=192$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ；数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 所有项的和为
$\_\_\_\_$ ．

16．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=A B=B C=1, P C=\sqrt{3}$ ．

（1）求证：$B C \perp$ 平面 $P A B$ ；
（2）求二面角 $A-P C-B$ 的大小．

1．设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}$ ，$U$ 为整数集， ð $(A \bigcup B)=$

5．已知正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_{5}=5 S_{3}-4$ ，则 $S_{4}=()$
A 7
B． 9
C． 15
D． 30

6．有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为

12．己知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1, F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=$

15．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $C D, A_{1} B_{1}$ 的中点，则以 $E F$ 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 $\_\_\_\_$ ．

18．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=2, A_{1} C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 1.

（1）求证：$A C=A_{1} C$ ；
（2）若直线 $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 距离为 2 ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

22．已知 $P(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha \\ y=1+t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$\alpha$ 为 $l$ 的倾斜角，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，$|P A| \cdot|P B|=4$ ．
（1）求 $\alpha$ 的值；
（2）以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

7．设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 内随机取一点 $A$ ，则直线 $O A$ 的倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为（ ）

10．已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增，直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$

11．已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-4=0$ ，则 $x-y$ 的最大值是（）

3．若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

11．在 $\left(2 x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分別是 $a, b, c$ ．已知 $a=\sqrt{39}, b=2, \angle A=120^{\circ}$ ．
（1）求 $\sin B$ 的值；
（2）求 $c$ 的值；
（3）求 $\sin (B-C)$ ．

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．

（1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；
（2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；
（3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

9．已知正三棱锥 $P-A B C$ 的六条棱长均为 6，$S$ 是 $\triangle A B C$ 及其内部的点构成的集合．设集合 $T=\{Q \in S \mid P Q \leq 5\}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（ ）

10．在 $\triangle A B C$ 中，$A C=3, B C=4, \angle C=90^{\circ} . P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C=1$ ，则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的取值范围是（）

12．已知双曲线 $y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为

10．椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为

11．设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $(0, \pi)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）

18．在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp$ 底面 $A B C D, C D / / A B, A D=D C=C B=1, A B=2, D P=\sqrt{3}$ ．

（1）证明：$B D \perp P A$ ；
（2）求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正弦值．

20．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s}\end{array}\right.$（ $s$ 为参数）．

（1）写出 $C_{1}$ 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明：
①$a+b+2 c \leq 3$ ；
（2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．

4.

从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其评分分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组：$[66,70),[70,74), \cdots$ 、 $[94,98]$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是（ ）

5．设 $a=\log _{2} 0.3, b=\log _{\frac{1}{2}} 0.4, c=0.4^{0.3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

11．在 $\left(2 x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{6}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ ．

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

16．在 $\triangle A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$\sin A: \sin B: \sin C=2: 1: \sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}$.
（I）求 $a$ 的值；
（II）求 $\cos C$ 的值；
（III）求 $\sin \left(2 C-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．